推 LimSinE :困難的地方是遞減 02/16 08:38
考慮 M = [1+(x/n)] ^ [n+(1/p)]，p 是整數
我想到的是用二項式展開 M^p
M^p = 1 + [xp + O(1/n)] + [(xp)^2 + O(1/n)]/2! + ... [(xp)^n + O(1/n)]/n!
這對有限的 n，和任意的 x 都成立。
當 n 趨近於無窮大的時候，需要嚴謹的討論，怎樣的條件會讓這個級數收斂
最簡單就是跟 e^(xp) 的級數做比較 (逃)
如果存在的話，就會趨近 1 + xp + (xp^2)/2 + ... = e^xp
(有錯請指教。這算是 "不用微積分" 嗎? XD)
※ 引述《LimSinE (r=e^theta)》之銘言：
: 熟知：
: (1+1/n)^n ↑e，(1+1/n)^(n+1)↓e (*)
: 事實上有
: (1+1/n)^(n+1/2)↓e (重點是遞減)
: 證明：
: 考慮函數 f(x) = (x+1/2) log (1+ 1/x)
: f'(x)
: = log (1 +1/x) - (x+1/2)/[x(x+1)]
: = log (1 +1/x) - 1/2 {1/x + 1/(x+1)} → 0 as x→無限大
: f"(x)
: = -1/[x(x+1)] + 1/2{1/x^2 + 1/(x+1)^2}
: =1/2{1/x - 1/(x+1)}^2 > 0，故f'↑0，f'<=0，f↓
: 請問有沒有不用微積分的方法？
: (例如(*)的兩個序列的增減都可用算幾不等式得到)
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