[中學] 關於組合的證明題

[ivorycoast ()]

    1、試證C(2n，n)可被n+1整除

    2、對任意正整數n、k，其中n大於等於k，
       求證C(n，k)、C(n+1，k)、C(n+2，k)......、C(n+k，k)互質

    3、設N=19^88-1 (19的88次方減1)，
       求N的所有形如2^a．3^b的因數總和，
       其中a，b為正整數。

    麻煩各位高手了!!

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◆ From: 1.174.37.38
→ zgoi        :第3題讓 N=(18+1)^88-1
→ willydp     :1. 設C_k = C(2k, k), 則C_k = ΣC_{j}C_{k-j-1}.
→ willydp     :                   /(n+1)
→ willydp     :打錯                (k+1)
→ willydp     :2. (n,k)=(2,2). C(2,2)=1, C(3,2)=3, C(4,2)=6 ???
→ ivorycoast  :不好意思..第一題我看不太懂..能請您解釋一下嗎??
→ ivorycoast  :第二題您的例子中,(1,3,6)=1，是要證他們的gcd為1
→ ivorycoast  :第三題我也有想到這樣分，只是接下來一堆連加就卡住
→ ivorycoast  :真不好意思..我排組方面較弱..麻煩各位高手了...
→ willydp     :1. 就只是寫出個遞迴式, 歸納法證明是整數而已
→ willydp     :2.假設p整除所有數字,則p整除C(n+j+1,k)-C(n+j,k)
→ willydp     :=C(n+j,k-1), 所以p整除C(n,k-1),...,C(n+k-1,k-1)
→ willydp     :這樣就reduce到k-1的狀況了, 一直做到k=0得到p|1
→ willydp     :1. 關鍵字: Catalan number
→ playerOrz   :第三題用mod分開試2^k 及3^k，到32跟27就會卡住
→ playerOrz   :這樣應該也是可以吧？
→ sneak       : 1. 就只是寫出個遞迴 https://noxiv.com
→ sneak       : 不好意思..第一題我看 https://daxiv.com
→ sneak       : 第三題用mod分開試2 https://muxiv.com
→ sneak       : //noxiv.com
→ sneak       :  https://noxiv.com
→ muxiv       : 第三題用mod分開試2 http://yaxiv.com