[線代] 行列式值和正定的題目

[tokyo291 (工口工口)]

1. Suppose q1,q2,q3,q4 are orthonormal vectors in R^4.

Let A=[q1 q2 q3 q4], B=[q1+q2 q2+q3 q3+q4 q4+q1]

and C=[q2 q3 q4 q1]. Find all possible values for the 4 by 4determinats

detA, detB, detAXdetC.

這邊我的想法是因為q1 q2 q3 q4是orthonormal 所以detA可以經由列運算變為detI

但是這種解釋好像有點漏洞...請問該怎麼解釋比較完整呢?

2. If A is 3 by 3 symmetric positive definite, then Aqi=λiqi

with eigenvalues λi and orthonormal eigenvectors qi. Suppose

x=c1*q1+c2*q2+c3*q3. Assume λ1<=λ2<=λ3. What c's will make the ratio

x^TAx/(x^Tx) as large as possible? What is the maximum of the ratio

x^TAx/(x^Tx)?

這一題則是毫無頭緒...

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◆ From: 36.239.247.179
推 mixxim      :AA^T=In 所以 det(A)det(A^T) = 1 → det(A) = 土１
→ tokyo291    :請問正負有辦法決定嗎?
推 mixxim      :無法，任兩行對調就會差一個負號。
推 mixxim      :啊...由原本的條件其實應該可立即推出的是 A^TA=In，
→ mixxim      :(但這些式子都是等價的所以沒差)；然後det(B)=0 (不
→ mixxim      :線性獨立)；det(A)*det(C)恆等於 1，可藉由計算
→ mixxim      :det(A^T C) 的值得到
→ tokyo291    :detC=det[q2 q3 q4 q1]=-det[q1 q2 q3 q4]=-detA
→ tokyo291    :det(A)*det(C)=det(A^T)*-det(A)=-1 請問如果這樣子
→ tokyo291    :是哪裡有問題呢?差了一個負號
推 mixxim      :把第一行移到最後面並沒有差負號，舉I4為例就知道了
→ mixxim      :我思考線代時蠻喜歡用舉例子的方法檢驗
→ mixxim      :當然只是參考啦^^
推 mixxim      :補充一點：　C = A [ 0 0 0 1 ]
→ mixxim      :          　      [ 1 0 0 0 ]
→ mixxim      :          　      [ 0 1 0 0 ]
→ mixxim      :          　      [ 0 0 1 0 ]
→ mixxim      :乘上的矩陣det為1所以沒有差負號
→ tokyo291    :但是我這邊的原文書提到進行兩列(行)互換時,det須變
→ mixxim      :互換是像這樣：比如換13，變 [ q3 q2 q1 q4 ]，這題
→ tokyo291    :[q2 q3 q4 q1]換到[q1 q2 q3 q4]總共換了3次故為負
→ mixxim      :應該互換了偶數次
→ mixxim      :對不起我一直看錯@@ 那個矩陣降階完是 1 @@
→ mixxim      :                             不        是-1 @@
→ tokyo291    :2341->2314->2134->1234 我的想法是換三次QQ
→ mixxim      :你是對的^^
→ mixxim      :果然該睡還是得去睡...zzz
→ tokyo291    :感謝您的講解!
→ sneak       : 果然該睡還是得去睡.. https://noxiv.com
→ sneak       : 無法，任兩行對調就會差 https://daxiv.com
→ sneak       : 但是我這邊的原文書提到 https://daxiv.com
→ sneak       : 2341->2314- http://yofuk.com
→ muxiv       :          　  http://yofuk.com