Re: [線代] [微積]Q(x)=x^TAx I=∫..∫exp(-Q(x))dx.

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《anovachen (囧)》之銘言：
: 假設A為n×n實對稱矩陣，
: x=[x1 x2 ... xn]^T (^T代表轉置)
: Q(x)=x^TAx
: 若A為正定矩陣，則
:   ∞∞   ∞
: I=∫∫...∫exp(-Q(x)) dx1 dx2 ... dxn
:  -∞-∞ -∞
: =(det(A))^(-1/2)(π)^(n/2)
: 書上的證明
: Q(x)=λ1y1^2 + λ2y2^2 +... +λnyn^2
: y=[y1 y2 ... yn]^T
:  =P^Tx
: λi為A的特徵根且皆大於零。
:      [dx1/dy1 dx1/dy2 ... dx1/dyn]
:      [dx2/dy1 dx2/dy2 ... dx2/dyn]
: J=det[...     ...         ...    ]
:      [dxn/dy1 dxn/dy2 ... dxn/dyn]
: (d在此表示偏微分符號)
: J=det(P)

y = P^T x = Q x

y_i = Q_ij x_j

dy_i/dx_j = Q_ij

J = det(dy_i/dx_j) = det(Q) = det(P)

: 這個J=det(P)是怎麼證明的呢？
: 謝謝！

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◆ From: 128.220.147.254
推 anovachen   :了解了！ 謝謝！