[微積] 證明連續

[tokyo291 (工口工口)]

Prove that , if f is continuous on [a,b] and

b
∫|f(x)|dx=0
a

then f(x)=0 for all x∈[a,b].

這一題我一開始是分開討論a b的範圍,但是沒甚麼用

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 61.227.244.17
→ jacob0425   :試試看反證法？
推 znmkhxrw    :Hint:if g€C[a,b] , nonnegative ,int_{a,b} g =0
→ znmkhxrw    :then g=0 on [a,b]
→ suhorng     :suppose not 然後因為 continuous 就有個區間
→ THEJOY      :假設存在某點p使得f(p)=h!=0, 根據連續性，
→ THEJOY      :在p附近存在區間[c,d]使得f在[c,d]上都!=0
→ THEJOY      :又，非負函數的積分值隨積分區域變大而變大
→ THEJOY      :且非負函數積分非負，應該就能得到和前提矛盾的結果
→ THEJOY      :我中間有省略一些步驟，自己想想看吧XD
推 mathphysics :這種條件少的命題建議先反證法下手試試看@~@!
→ sneak       : 我中間有省略一些步驟， https://noxiv.com
→ sneak       : then g=0 on https://daxiv.com
→ sneak       : 且非負函數積分非負，應 https://muxiv.com
→ muxiv       : 又，非負函數的積分值隨 https://moxox.com