Re: [中學] 切線重合問題

[LPH66 (杇瑣)]

※ 引述《cnick (cnick)》之銘言：
: 想請問一題
: 已知曲線 f(x) = x^4+4x^3-16x^2 + 6x-5
: 在 x=t 與 x=s(其中t≠s)時的切線重合
: 試求|s-t|=?
令這條切線為 y=mx+b

則 f(x)-(mx+b) 在 x=t 跟 x=s 的切線也重合  而且就是 x 軸

(這一點只要想像一下 f(x) 跟這條切線的圖形擺在一起  就會了解原因了)

也就是 s 跟 t 是 f(x)-(mx+b) 的兩個相異重根

因此 f(x)-(mx+b) 必為 (x-s)^2 * (x-t)^2

(由於 f(x)-(mx+b) 為四次  故兩個相異重根只能都是二重根)

展開比較係數可得

4 = -2s-2t
-16 = s^2+4st+t^2

前式得 s+t=-2  平方後由後式減去得 2st=-20

故 (s-t)^2 = (s^2+4st+t^2)-6st = -16-3(-20) = 44

所求 |s-t| = √44 = 2√11

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有人喜歡邊玩遊戲邊上逼；        
    也有人喜歡邊聽歌邊打字。      
        但是，我有個請求，          
            選字的時候請專心好嗎？
                                      -- 改編自「古 火田 任三郎」之開場白

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 210.69.49.38
※ 編輯: LPH66           來自: 210.69.49.38         (02/22 13:50)
※ 編輯: LPH66           來自: 210.69.49.38         (02/22 13:51)
推 cnick       :所以是因為這個函數的圖形的關係
→ cnick       :所以可以知道剛好有兩相異重根 才可以這樣解嗎?
→ cnick       :假如今天換一個不一樣的函數
→ cnick       :就有可能切線x軸與函數除了切點以外還有另外交點
→ cnick       :這時候應該就沒辦法用這篇提供的方法解了對嗎?
→ LPH66       :是, 而且還很有可能會有多組解
→ LPH66       :例如若 f(x) 是五次方程式則就可能會有兩解
→ LPH66       :那種時候大概只能回歸切線的求法去算了
推 cnick       :了解了 謝謝