→ Vulpix :「排『完』」是說所有數字都排進去了，所以當然是 02/26 02:00
→ Vulpix :無窮多個數字，怎麼可能只有10000個咧？ 02/26 02:00
→ bjiyxo :怎麼能把無窮個排完?對我來說很怪@@ 02/26 02:02
→ Vulpix :總之用這方法找到的實數會跟a1不一樣，因為第一位 02/26 02:02
→ Vulpix :不同；會跟a2不一樣，因為第二位不同...以此類推 02/26 02:03
→ Vulpix :「偶數」也有無窮多個，你能排完嗎？ 02/26 02:03
→ bjiyxo :可是現在要證明的是實數可不可以排列 他的假設又要 02/26 02:06
→ bjiyxo :推翻我不能把它排列這個事實 可是我沒有辦法理解 02/26 02:06
→ bjiyxo :他如何推翻 偶數當然排不完 但是它是可以排列出個有 02/26 02:07
→ bjiyxo :序的 02/26 02:07
→ Vulpix :偶數可以排完啊...an=2n(n是奇數)或(2-2n)(n是偶數) 02/26 02:11
→ bjiyxo :問題點對我在於我認為在舉反例的時候 一定要是有限項 02/26 02:12
→ Vulpix :那就是此處沒通了。其實"排完"就是已經知道全部的an 02/26 02:13
→ bjiyxo :嗯嗯大大你的意思跟我一樣 他可以排列出個有序的數列 02/26 02:13
→ Vulpix :都是些什麼數字的意思。 02/26 02:13
→ bjiyxo :拿有理數來對照好了 有理數假如也是用大大的想法 02/26 02:19
→ bjiyxo :那將會找不到這個反例 那同理的為什麼實數就不能找 02/26 02:19
→ bjiyxo :找到這個反例呢? 02/26 02:20
→ bjiyxo :找不到這個反例 上面漏打一個字 02/26 02:21
推 Vulpix :1.有理數其實可以排完。2.用這方法去做有理數，找到 02/26 02:26
→ Vulpix :的「反例」其實...一定是無理數。 02/26 02:26
→ bjiyxo :大大這個方法我贊同，不過我覺得我最無法接受的還是 02/26 02:38
→ bjiyxo :怎麼對無窮項舉反例... 02/26 02:38
推 LSC112233 :意思就是無論怎麼排,總能找到某個實數是沒排進去的, 02/26 02:42
→ bjiyxo :我不知道怎麼比喻這感覺 也找不到反例 現在我想到最 02/26 02:42
→ Vulpix :無窮多項，但是我們每次只看一個啊... 02/26 02:42
→ bjiyxo :最恰當的比喻方式就像 傅立葉分析時 每個函數都是 02/26 02:43
→ LSC112233 :所以實數比自然數"多"。 02/26 02:43
→ bjiyxo :可是加起來不一定連續的感覺... 02/26 02:43
→ wayn2008 :可以想想無理數定義:不屬於有理數的實數 這樣怎麼數? 02/26 02:47
→ wayn2008 :有理數可以用某種方式寫出 但無理數不行 02/26 02:48
→ wayn2008 :教授用的方法就好像是在找無理數的感覺 02/26 02:50
→ bjiyxo :我能明白這樣的想法 只是我的癥結點在於怎麼對無窮 02/26 02:54
→ bjiyxo :舉反例 這對我來說好像不是那麼直接是對的 02/26 02:55
→ wayn2008 :那對質數是無窮多個怎麼證明?? 02/26 02:57
→ wayn2008 :我以前學的是先假設質數有限個 所以列出s1.s2...sn 02/26 02:58
→ bjiyxo :不太一樣吧 證明時是先假設他們是有限的 然後排序 02/26 02:58
→ bjiyxo :可是實數無限個 排序 這樣概念不同吧? 02/26 02:58
→ wayn2008 :然後令p=s1*s2*...*sn + 1使得跟s1.s2....sn都互質 02/26 02:59
→ bjiyxo :嗯嗯我知道 不過我覺得有限跟無限這概念好像就不同? 02/26 03:00
→ wayn2008 :類似吧?!我覺得很像呀XD 只是用的方式不同呀~ 02/26 03:00
→ wayn2008 :喔~區分有限個不可數跟無限個不可數這樣?! 02/26 03:01
→ bjiyxo :對! 就是這樣的感覺 所以使得我對原證明感到困惑 02/26 03:03
→ bjiyxo :假如我用整數跟實數做比較 證明方法反過來使用 02/26 03:32
→ bjiyxo :個位數跟第一個數不同 十位數跟第二個數不同 02/26 03:32
→ bjiyxo :在有限項時也恆對 那無限項時為何就錯了? 02/26 03:32
推 recorriendo :這種證明是數學的標準證明 但的確不是每個人都能接受 02/26 03:41
→ recorriendo :所以有所謂constructive mathematics 跟主流數學不同 02/26 03:42
→ recorriendo :很多主流數學的定理在constructive math不成立 02/26 03:43
推 handsomecat3:無限是有分等級的。實數的無限比有理數的無限高一級 02/26 09:28
推 handsomecat3:在證明中，將實數排成一列 a_n,注意到a_n是可數多個 02/26 09:31
→ handsomecat3:的無限項數列。而我們構造出一個實數，使得此實數不 02/26 09:32
→ handsomecat3:在這可數多個無窮項數列裡面。於是矛盾了。要注意到 02/26 09:33
→ handsomecat3:數列的無窮多項是可數多個(countable)的等級 02/26 09:34
→ handsomecat3:數列的定義是什麼? 是一個函數F：把正整數集合映射到 02/26 09:35
→ handsomecat3:實數去的函數嘛。 那正整數是可數的，當然數列就是可 02/26 09:36
→ handsomecat3:數的無限多個項所組成的。 02/26 09:36
→ bjiyxo :可是在證明當中 要跟無限個比較一定能找出這個解嗎.. 02/26 09:36
→ bjiyxo :我沒辦法這樣直觀的去想 02/26 09:36
推 handsomecat3:證明中找到那個反例 小數點後有無限多位數啊 02/26 09:42
→ bjiyxo :搞不好不管怎麼找都找不到啊 在比前10個數的時候 02/26 09:44
→ bjiyxo :發現第59個剛好跟我寫的一樣 在比前100個時發現第230 02/26 09:45
→ bjiyxo :又跟我一樣了 於是我永遠找不到這個反例? 02/26 09:46
→ bjiyxo :無窮項時我永遠找不到這個反例? 因為它都有了? 02/26 09:46
推 handsomecat3:小數點後有"可數多個"無限多的位數剛好跟數列的個數 02/26 09:47
→ handsomecat3:也是"可數多個無限多" 一樣多，所以可以一一對應 02/26 09:48
→ yhliu :你如果說依照令師建構方式得到的會是排列中第1億個, 02/26 10:05
→ yhliu :但他的小數後第1億位明明是跟第1億個數的不同, 兩者 02/26 10:06
→ yhliu :怎會一樣? 02/26 10:06
→ yhliu :注意 "可排列" 不等於 "可排完". 實數明明有無限多個 02/26 10:08
→ yhliu :因此即使假設可排列, 這個數字名單也是無限長的. 02/26 10:08
→ yhliu :另一方面, 建構出來的是一個無窮小數. "可建構出來" 02/26 10:09
→ yhliu :這個小數, 也不表示這個小數可以把它完整寫出來. 就 02/26 10:10
→ yhliu :像 √2 寫成小數是永遠也寫不完的, 但確實可以寫出-- 02/26 10:10
→ yhliu :意思是說: 不管你要求寫出幾位數, 理論上都可以寫出 02/26 10:11
→ yhliu :來, 雖然即使利用目前最高速的計算工具計算到機器報 02/26 10:12
→ yhliu :廢還沒辦法完成任務. 02/26 10:12
→ yhliu :又: 在令師所描述的建構的數字中, 各小數位的數字還 02/26 10:14
→ yhliu :要排除掉 0 與 9 (假設是用十進位表示). 這非很必要, 02/26 10:15
→ yhliu :只是避免建構出 0循環 與 9循環 的結果. 因為: 02/26 10:15
→ yhliu :例如 0.1999...(循環) 與 0.2000...(循環) 都是 1/5 02/26 10:16
→ yhliu :的無窮小數表示法. 02/26 10:17
推 orangecoco :有個數在有理數的名單之外 02/26 13:25
→ bjiyxo :在有限的時候 排出來的數是有限小數 實數中當然有 02/26 15:28
→ bjiyxo :可能排到有限小數啊 第一億個有可能是這有限小數 02/26 15:28
→ bjiyxo :而在無窮向當中要舉出這個反例 有無窮位小數沒錯 02/26 15:29
→ bjiyxo :但是如何證明你做的出來這個小數 搞不好你不管怎麼舉 02/26 15:30
→ bjiyxo :在我的排列當中都有 02/26 15:30
→ bjiyxo :我認為癥結點在 能不能證明 一定能夠在無窮項中舉出 02/26 15:31
→ bjiyxo :這個數? 02/26 15:32
→ bjiyxo :還是這個能夠用選擇公理說明可行? 02/26 15:34
推 LPH66 :這個證明比較像是反過來 你不管舉哪個排列 02/26 16:09
→ LPH66 :我都能夠給你一個數不在你的排列裡面 02/26 16:10
→ LPH66 :給你的這個數當然是要看過你的排列之後才會給你的 02/26 16:10
→ bjiyxo :我覺得我的問題在於給了我排列一定能找出那個數嗎? 02/26 16:12
→ bjiyxo :有限項一定找的到 可是無窮項不一定找的到吧 02/26 16:13
推 LPH66 :但是我給你的這個數是可以確定的 或者該說 02/26 18:15
→ LPH66 :你要這個數的小數不管哪一位我都能給你 02/26 18:16
→ LPH66 :對了 我說的是實數的狀況 給你的數當然也是實數 02/26 18:17
→ LPH66 :所以才能造成矛盾 02/26 18:17
→ bjiyxo :對了 這能不能跟數學歸納法不能推到無窮一起類比 02/26 19:43
→ bjiyxo :第n項都可以推到第n+1項 可是卻不能說無窮大的時候 02/26 19:43
→ bjiyxo :一定對? 02/26 19:44
推 Eeon :不適合類比的，這證明的核心是：說明那個數都不等於 02/26 19:53
→ Eeon :任何 s_k 的，這件事，並沒有跟歸納法有任何關係。 02/26 19:54
→ Vulpix :嗯嗯，小數本來就沒有「小數點後第無限大位」，每一 02/27 23:33
→ Vulpix :位都是一個一個的數字(0~9)，只要能知道每一位，就代 02/27 23:34
→ Vulpix :我們知道這個數字了。 02/27 23:34