Re: [代數] 集合論中實數與有理數的比較

[Eeon (Chaotic Good)]

※ 引述《bjiyxo (若自礌)》之銘言：
: 標題: [代數] 集合論中實數與有理數的比較
: 時間: Tue Feb 26 01:55:37 2013
:
: 或者老師的假設少加了哪些東西?
: → bjiyxo      :在有限的時候 排出來的數是有限小數 實數中當然有     02/26 15:28
: → bjiyxo      :可能排到有限小數啊 第一億個有可能是這有限小數      02/26 15:28
: → bjiyxo      :而在無窮向當中要舉出這個反例 有無窮位小數沒錯      02/26 15:29
: → bjiyxo      :但是如何證明你做的出來這個小數 搞不好你不管怎麼舉  02/26 15:30
: → bjiyxo      :在我的排列當中都有                                 02/26 15:30
: → bjiyxo      :我認為癥結點在 能不能證明 一定能夠在無窮項中舉出   02/26 15:31
: → bjiyxo      :這個數?                                            02/26 15:32
: → bjiyxo      :還是這個能夠用選擇公理說明可行?                    02/26 15:34
: 推 LPH66       :這個證明比較像是反過來  你不管舉哪個排列           02/26 16:09
: → LPH66       :我都能夠給你一個數不在你的排列裡面                 02/26 16:10
: → LPH66       :給你的這個數當然是要看過你的排列之後才會給你的     02/26 16:10
: → bjiyxo      :我覺得我的問題在於給了我排列一定能找出那個數嗎?    02/26 16:12
: → bjiyxo      :有限項一定找的到 可是無窮項不一定找的到吧          02/26 16:13


這個論證理面，其實是在兩個地方用了反證技巧。

第一次是一開始，假設實數可以跟正整數做一個一對一的對應。
（實數顯然不會是有限個的case。）
（用"排好"這個詞講是比較白話，
　但是缺點就是很籠統，當你的概念不清楚的時候，反而會造成混淆。
  什麼叫"排好"？！詳細清楚解釋就是本段第一句寫的意思。）

第二次是怎麼說明（對一開始那個假設排法而言）真的存在一個無法被對應到的數 這邊。
我們隨便寫一個 0.a_1 a_2 a_3 a_4 ....（無窮下去）,
a_i 從 1,2,3,4,5,6,7,8 選，都是一個實數。
所以用你這邊提到的方式，真的是存在一個那樣的實數 s ，這沒有問題。
注意： s 並沒有說一定是有限位就可以寫完的。
　　　（或者精確地說，並不一定是長:
         0.a_1 a_2 a_3 .. a_N a_{N+1} ...,  a_i= 0 if i>N 這樣子的。）

這個實數稱做 s 好了，那接下來就是看這個數 s 有沒有被排在某個位置。
有的話，嗯，那就是沒事，我們到目前做的事就到處散步一下而已。
如果沒有的話，那太好了，＂實數可以跟正整數做一個一對一的對應＂這個假設是錯的！
換句話說，我們就證明了實數不可數。
（當然，此處，可數或不可數是一個有數學定義的詞彙。）

那怎麼說 s 沒有被排到呢？

假設他有被排到第 k 個位置，稱s_k好了。　（即本文所說第二次的反證。）
那從找這個數s的方式我們知道，s 跟 s_k 的第 k 位不同，
（注意 yhliu 在推文裡提到的，0,9 不在 s 的各位置可允許選擇之列。）
所以 s 跟 s_k "真的" 就不是同一個數，
因此，第二次反證假設是錯誤的。
換句話說，就是： s 跟 任何一個 s_k 都不一樣，
                 s沒有被某個正整數對應到（或者說："排到"）。
因此，第一個反證的假設是錯的。意即：我們不能把實數跟正整數做一個一對一對應。


: 推 LPH66       :但是我給你的這個數是可以確定的  或者該說           02/26 18:15
: → LPH66       :你要這個數的小數不管哪一位我都能給你               02/26 18:16
: → LPH66       :對了  我說的是實數的狀況  給你的數當然也是實數     02/26 18:17
: → LPH66       :所以才能造成矛盾                                   02/26 18:17

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◆ From: 219.70.174.246

推 bjiyxo      :可是假如沒有辦法用這個方法找到那個s呢?
→ bjiyxo      :搞不好真的有一種排法真的是可以把實數排完 我沒有
→ bjiyxo      :辦法用上述方法做出s
多看幾次吧...我覺得你是沒有抓到重點，

反而太執著於那個s的位數順序，所以才糊掉了，搞不懂。

那我們換個寫法好了，
假設實數跟正整數有一個一對一對應，對應函數叫 f。
如你所知的，實數可以用位數表示法做出來。

那們我們考慮下面這個實數 s，
s的第 k 位，不要挑  f(k)(意即你一開始使用的符號 s_k)的k位,0,9  這幾個東西。
只要有一個排列(函數f)，我們都可以做這件事，這沒有問題吧。
這樣造出來的 s，當然也是一個實數。
那為什麼要這樣挑？　因為我們希望考慮的 s 跟任何 f(k)(=s_k) 都不一樣。


接著第二步，說明s不等於任何 f(i), 就完了。



推 LPH66       :那麼這個證明就在告訴你不管怎麼排列都找得到 s
→ LPH66       :它也給出一個方法讓你找出那個 s 了
→ LPH66       :這個方法對任何可能的排列都是成立的

我又看了一下他一開始寫的，應該是他老師的說明比較不好，所以他搞不懂。
照他最初的文字敘述是，這個 s 是：走一步，找一個位數。
然後一直弄下去。收一個 data, s_i => 找一個位數。
我們換個想法：你先一次把整個排列的 data {s_1,s_2,...,...} 全部丟給我，
              我再動手輸出一個 s 給你，輸出方法就是文中所寫的。
所以也不會有什麼歸納法類比的問題了。

這樣..有沒有了解了？

※ 編輯: Eeon            來自: 219.70.174.246       (02/26 20:17)
推 bjiyxo      :我懂了謝謝:) 我覺得我陷入了詭論 感謝你