作者pigheadthree (爬山)
看板Math
標題Re: [其他] 極限-根號型函數求解題方式
時間Wed Feb 27 08:55:37 2013
※ 引述《suhorng ( )》之銘言：
: ※ 引述《pigheadthree (爬山)》之銘言：
: 這是l'Hospital
: : 極限值的羅必達微分方式不是如此解法，而是如以下解法：
: : f'(x)=lim [f(x)-f(a)]/(x-a)
: : x->a
: 這是微分的定義
: : 基本上，有極限值的微分公式與一般函數的微分公式，我一開始也是搞混。
: : 一般微分方式，假設 f(x) = g(x)/h(x)
: : f'(x) = [g'(x)*h(x)-h'(x)*g(x)]/[h(x)]^(2)
: 這是微分的定義導出來的 quotient rule
: 這些都是基本定義、和課本的定理敘述 翻課本比較清楚
: -
: 微分的定義：設 f 定義在 (a-δ, a+δ) 上
: 則我們說 f 在 a 可微分, 如果這個極限存在：
: f(x) - f(a)
: lim -------------
: x→a x - a
: 並定義 f'(a) 為以上極限的值
: 設 f 在 (a,b) 上可微分 則我們說 f 在 (a,b) 的導函數 f'(x) 定義為
: f(x+h) - f(x)
: f'(x) = lim ---------------
: h→0 h
: -
: f'(x)g(x) - f(x)g'(x)
: 若 f, g 可微, 運用以上定義, 我們可導出 [f(x)/g(x)]' = -----------------------
: [g(x)]^2
: -
: 羅必答的定理敘述：
: (i) 設 f, g 在 (a, b) 上可微（我們並讓 f, g 在 [a,b] 上連續）
: 若 lim f'(x)/g'(x) 存在(令 = L) 且 lim f(x) = lim g(x) = 0
: x→a+ x→a+ x→a+
: 則 lim f(x)/g(x) 存在且 = L
: x→a+
: (ii)設 f, g 在 (a, b) 上可微（我們並讓 f, g 在 [a,b] 上連續）
: 若 lim f'(x)/g'(x) 存在(令 = L) 且 |lim f(x)| = |lim g(x)| = ∞
: x→a+ x→a+ x→a+
: 則 lim f(x)/g(x) 存在且 = L
: x→a+
: (噢還有個 g'(x) ≠ 0 之類的條件....)
: 所以 m 大就是把他分子分母分別微分後求極限(因為那個極限存在 所以分別微分那個
: 等號才會成立)
: -
: 建中學資有個：
: 設 f, g 在一個包含 a 的開區間上可微、f(a) = g(a) = 0、f'(a)及g'(a)皆存在
: 而且 g'(a) ≠ 0, 則
: lim f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a)
: x→a
: 這個是對的，不過不是我們說的羅必達。條件不同，結論也不同。
前輩的意思是說：
當lim f(x) = L ---> f'(x) = lim [f(x)-f(a)]/(x-a)
x->a x->a
這是極限微分的定義
但是羅必達的極限微分定理卻是
當lim f(x) = 0 ，lim g(x) = 0 ，lim f(x)/g(x) = 0/0 or ∞
x->a x->a
其 lim f'(a)/g'(a)
x->a
是這樣子嗎？
麻煩不吝嗇指正，謝謝！
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.165.175.21
推 suhorng :NO! 微分就是微分 不是極限微分 也不是羅畢達微分 02/27 09:42
→ suhorng :微分的定義就是 lim [f(x)-f(a)]/(x-a), 若它存在 02/27 09:42
→ suhorng :羅必達的敘述是"適當的"情況下, 假如lim f'/g' 存在, 02/27 09:43
→ suhorng :那 lim f/g = lim f'/g' 02/27 09:43
→ suhorng :這也跟你第一行 lim f(x)=L 完全沒關聯... 02/27 09:43
→ suhorng :而且羅必達是"定理" 不是定義 02/27 09:44
前輩的意思是說，因為lim f(x)/g(x) = 0/0 or ∞ 為不存在，
x->a
然而我們假設 lim f'(x)/g'(x)為存在的值，所以稱為羅必達定理。
是這樣嗎？
※ 編輯: pigheadthree 來自: 1.165.175.21 (02/27 13:10)
推 suhorng :意思是, 我們不知道 lim f/g 存不存在, lim f = 0 02/28 10:42
→ suhorng :且 lim g = 0 或 (|lim f| = ∞ 且 |lim g| = ∞) 02/28 10:43
→ suhorng :讓我們不能引用 limit laws: lim f/g = lim f/lim g 02/28 10:43
→ suhorng :所以我們不知道 lim f/g 值是多少 也不知道存不存在 02/28 10:43
→ suhorng :但是我們算 lim f'/g' 發現它存在 又 g' 在該區間上 02/28 10:44
→ suhorng :恆非0. 以上前提符合羅必達定理的條件, 所以我們可以 02/28 10:44
→ suhorng :引用羅必達定理, 推論出 lim f/g = lim f'/g' 02/28 10:45
→ suhorng :請注意以上所有用的符號(不可亂用) 以及敘述的因果 02/28 10:45