作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
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標題Re: [線代] 在R^4中的好basis
時間Thu Feb 28 13:45:27 2013
※ 引述《fresca (coke)》之銘言：
: ※ 引述《fresca (coke)》之銘言：
: : 在R^3中, 假設已經給了兩個線性獨立的向量 v1和v2,
: : 可以取 v3= v1×v2, 這樣 {v1,v2,v3} 就是一個 basis.
: : 那麼在 R^4中, 假設已經給了兩個垂直的向量v1,v2,
: : 有什麼比較簡潔的取法 v3,v4, 使得 {v1,v2,v3,v4} 是一個basis 呢?
: : 謝謝!
: 抱歉沒把問題打清楚
: 這邊找"好"basis的意思指說: 給出v3,v4一個簡單的公式,使得{v1,v2,v3,v4}是basis.
: 簡單的公式的意思是說.... 像R^3的例子, v3= v1×v2 就是一個簡單的公式
: 現在有三種想法
: (1) bineapple板友的推文
: 第一列 第二列 第三列 第四列
: (2) 取 R1= { (0,0,1,0), (0,0,0,1), (-1,0,0,0), (0,-1,0,0) }
: R2= { (0,1,0,0), (-1,0,0,0), (0,0,0,-1), (0,0,1,0) }
: 取 v3=R1.v2, v4=R2.v2, 如此一來, {v2,v3,v4} 線性獨立且互相垂直
: (如果寫成 v2=(a,b,c,d), 那 v3= (-c,-d,a,b), v4=(-b,a,d,-c) )
: 缺點: 沒有辦法保証 {v1,v2,v3,v4} 線性獨立.
: (3) 同(2)的作法, 但是最後把v1 用 v2,v3,v4三個向量的外積取代.
: 如此以來 {新v1,v2,v3,v4} 是互相垂直的basis.
: 缺點: 這個basis不含有舊的v1.
---
其實原po可以仿造 給定sub-space, 求其 null-space 的作法
令 X = [A │ B] = [v1 v2]^T , 其中 A, B 為 2x2 matrix
<1> when A is invertible:
-1
choose [v3 v4] = [-(A B)^T │ I_2 ]^T
<2> when B is invertible:
-1
choose [v3 v4] = [I_2 │-(B A)^T ]^T
<3> o.w.
┌ 1 0 0 0 ┐
Set Y = X*T , where T = │ 0 0 1 0 │ (or other portable matrix)
│ 0 1 0 0 │
└ 0 0 0 1 ┘
choose [v3 v4] = T*S , where S can be used the above method to get
by solving Y*S = [0]_2
ps: I_n := n by n identity matrix
=====
若原po只想針對 4維空間的 case
可以參考 multiple view geometry 的作法
在 projective space 下, 將 v1,v2 視為 points (或 planes)
而 L = [v1 v2] 看成是一條直線
裡面有很多漂亮的性質可以用，套一下應該也能得到原po所需
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 175.98.124.34
※ 編輯: doom8199 來自: 175.98.124.34 (02/28 13:49)
推 fresca :謝謝! 本文很有幫助 03/01 00:54
→ fresca :如果沒有辦法判斷<1>或<2>發生的話要怎麼辦呢? 03/01 00:55
→ fresca :想造這個basis的目的是因為, 03/01 00:56
→ fresca :給了一條R^4上的曲線, 這條曲線是一個微分方的解 03/01 00:59
→ fresca :這條曲線沒有辦法用公式寫下來 03/01 01:00
→ fresca :但是想要在沿著曲線找一組隨時間邊動的basis 03/01 01:01
→ fresca :basis的取法是v1=切向量, v2=法向量 03/01 01:03
→ fresca :v1,v2有公式寫下來 03/01 01:03
→ fresca :可是公式很複雜, 可能沒辦法辦斷是<1>或<2>發生 03/01 01:04
→ fresca :如果可以話,請再分享multiple view geometry的作法 03/01 01:05
→ fresca :感謝! 03/01 01:05
→ doom8199 :這篇的方法其實跟 bineapple大 首篇推文差不多 03/01 22:37
→ doom8199 :可以 google 一下關鍵字 "(dual) Plucker matrices" 03/01 22:37
→ doom8199 :它的公式說穿了，就只是把外積 regularization 03/01 22:39
→ doom8199 :multi-view geometry 裏頭介紹該矩陣 03/01 22:40
→ doom8199 :是要把 點/線/面 做一個有系統的推論 03/01 22:41
→ doom8199 :你就只要取 dual matrix 裏頭的兩個線性相依的 03/01 22:42
→ doom8199 :column vector 就是您想要的. 剩下兩個column 03/01 22:42
→ doom8199 :不是 zero vector, 就是 linear combination 03/01 22:43
→ doom8199 :不過看起來原po好像沒辦法輕易取出 v1和v2的 entries 03/01 22:44
→ doom8199 :我是建議可以把 v1 和 v2 的 form 貼出來 03/01 22:45
→ doom8199 :觀察有沒有甚麼性質 (例如 A,B commutative) 03/01 22:47
→ doom8199 :基本上不論是這篇做法 or dual plucker mat. 03/01 22:48
→ doom8199 :對 entries 角度而言, null-space 已是最簡型態 03/01 22:49
→ doom8199 : 線性獨立 (打錯) 03/01 22:50