作者letmegoogle (goo之哉 goo之哉)
看板Math
標題[微積] 關於根號2的存在～
時間Sat Mar 2 20:30:10 2013
請大家幫我看看以下這個證明有沒有問題^^
當我想要證明
"√2這個實數是存在的"，於是我給定一個集合S使得
S={s屬於R:s>_0，s^2<2}
則易知1屬於S而且2是S的上界之一（顯然並非最小上界）
令S的最小上界為u，當然既然可以比大小，那麼u一定是實數
(根據"複數無大小"的性質)
再假設～
(1)如果u^2>2
那麼把u減去一個"可以任意小的正實數"ε
既然u是S的最小上界，那麼必有（u-ε）^2<2，展開得到
u^2+2uε+ε^2<2...(a)
但是因為ε可以任意小，當ε趨近於0時，
(a)式左側取極限就得到lim u^2+2uε+ε^2=u^2
ε→0
於是得到u^2<2，矛盾；
(2)如果u^2<2
那麼把u加上一個"可以任意小的正實數"ε
既然u是S的最小上界，那麼必有（u+ε）^2>_2，展開得到
u^2-2uε+ε^2>_2，
再移項得到
u^2+ε^2>_2+2uε...(b)
一樣因為ε可以任意小，當ε趨近於0時，
(b)式左右兩側各自取極限，
所得的結果就會是～
u^2>_2，再次與假設相矛盾，
總之，不論u^2>2或u^2<2皆會產生矛盾，
於是根據三一律，u^2=2必成立，
而且u作為一個集合的最小上界，它必須是實數，
所以說～
存在有一個實數u使得u^2=2，
習慣上我們將u表示為√2
(證明完畢)
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◆ From: 140.136.224.19
→ suhorng :有興趣的話可以看一下實數怎麼建構的 03/02 20:53
→ suhorng :一開始取 sup 就已經承認了實數存在、有完備性等 03/02 20:54
→ suhorng :所以我猜你是要論證 "存在實數 u > 0 使 u^2 = 2" 03/02 20:54
→ suhorng :既已經取u = sup S, 顯然 u^2≧2. 但若 u^2 > 2, 03/02 20:55
→ letmegoogle :嗯嗯，這就是我所想要論證的沒錯～ 03/02 20:56
→ letmegoogle :s大的意思是，連"假設u^2"這個假設都可以省去嗎？ 03/02 20:57
→ letmegoogle :更正～我是說假設"u^2<2" 03/02 20:57
→ suhorng :可以用 u - (u^2 - 2)/(u + 2) 得另一更小上界 矛盾 03/02 20:59
→ letmegoogle :佩服～ 03/02 21:04
→ suhorng :這是 Rudin 裡面的... 03/02 21:06
→ letmegoogle :那我改佩服Rudin好了XD 03/02 21:07
→ letmegoogle :[認真]但我沒讀過Rudin耶 這個證明是我自己想出來的 03/02 21:09