推 sm008150204 :你好厲害唷！！ 感激！ 03/03 21:23
→ mixxim :別客氣。其實這算有點技巧吧，畢竟要知道k^4+4可以這 03/03 21:26
→ mixxim :樣分解並且最後分項對消，數字是設計過的。到現在已 03/03 21:27
→ mixxim :經只會想用計算機了XD 03/03 21:28
※ 引述《sm008150204 (風切羽狂)》之銘言：
: Sum k=2 to infinity
: (k^4+3k^2+10k+10)/((k^4+4)*2^k)
: 這真的有點太複雜了，請問真的有辦法手算出來嗎？
: 答案應該是 : 1.1
: 沒有頭緒，希望各位大大能提示一下，感激不盡．
∞ k^4 + 3k^2 + 10k + 10 ∞ (k^4 + 4) + (3k^2 + 10k + 6)
Σ ------------------------ = Σ --------------------------------
k=2 (k^4 + 4) 2^k k=2 (k^4 + 4) 2^k
∞ 1 ∞ 3k^2 + 10k + 6 ∞ 3k^2 + 10k + 6
= Σ ----- + Σ ----------------- = 0.5 + Σ -----------------------------
k=2 2^k k=2 (k^4 + 4) 2^k k=2 (k^2-2k+2) (k^2+2k+2) 2^k
∞ 4(k^2+2k+2) - (k^2-2k+2)
= 0.5 + Σ -----------------------------
k=2 (k^2-2k+2) (k^2+2k+2) 2^k
∞ 4 ∞ 1
= 0.5 + Σ ----------------------- － Σ -----------------------
k=2 [ (k-1)^2 + 1 ] 2^k k=2 [ (k+1)^2 + 1 ] 2^k
令k=m+2
∞ 1 ∞ 1
= 0.5 + Σ ----------------------- － Σ -----------------------
m=0 [ (m+1)^2 + 1 ] 2^m k=2 [ (k+1)^2 + 1 ] 2^k
1 1
= 0.5 + ----- + ------- = 1.1
2 5*2
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