推 herstein :也就是說你只是把Cyclic group <A>塞到U(n)中 03/04 21:39
→ herstein :而會是<A>是subgroup的原因是det A不韋零 03/04 21:39
※ 引述《suhorng ( )》之銘言：
: 設 A 是 n ×n 的複係數矩陣, 且滿足對某個 k≧1, A^k = I.
: 試證 A 可對角化.
: 對線性代數非常不熟, 請問可以多提示一點嗎？
: 謝謝各位前輩!
我猜猜看這樣做能不能
原本V = C^n中有個hermitian product, < , >
k-1
造一個新的 ( , ), 定法為 (u, v) = Σ<A^j u, A^j v>
j=0
( , )顯然是個inner product
於是我們有個C-linear map T : V -> V
使得<u, v> = (Tu, Tv)
建立了一個從< , >到( , )的isometry
此時( , )是A invariant
因此{T A^j T^{-1}}會形成U(n)中的一個subgroup, 所以是diagonalizable
所以A^j也是diagonalizable
更一般地, 所有finite matrix subgroup都能這樣放到U(n)中,
所有的compact closed linear group都行(把sum改成integration wrt Haar measure)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.132.161.204
※ 編輯: willydp 來自: 220.132.161.204 (03/04 20:32)
※ 編輯: willydp 來自: 220.132.161.204 (03/04 20:33)
※ 編輯: willydp 來自: 220.132.161.204 (03/04 20:34)
※ 編輯: willydp 來自: 220.132.161.204 (03/04 20:38)