※ 引述《obelisk0114 (追風箏的孩子)》之銘言：
: 2 1
: 題目:用黎曼和求∫ ----- dx
: 1 2
: x
: 我的解法:
: x在[1,2]等分n段,n->∞,每段1/n
: Upper Sum = 1/n * ( (1/ 1^2) + (1/(1 + 1/n)^2) +...+ (1/(1 + (n-1)/n)^2) )
: Lower Sum = 1/n * ( (1/(1 + 1/n)^2) + (1/(1 + 2/n)^2) +...+ (1/(1 + n/n)^2) )
: 然後就卡住了,後面那一串Mathematica說:是digamma
: 用高中的方法怎麼往下化簡?
記得在學資(還是大一微積分課本..忘了.)看到一個做法:
令分割 P = {1, 1 + 1/n, 1 + 2/n, ..., 1 + (n-1)/n, 2}
______________________
對於每一個區間 [1 + (k-1)/n, 1 + k/n], 我們取樣點 √(1 + (k-1)/n)(1 + k/n)
則其黎曼和 S(P, 1/x^2) 為
n 1 1
Σ --- ------------------------
k=1 n (1 + (k-1)/n)(1 + k/n)
n 1 1 1
= Σ ---(------------- - ---------) n
k=1 n 1 + (k-1)/n 1 + k/n
= 1 - 1/2 = 1/2
所以最後的積分值會是 1/2
(可以用你原本的上和、下和相減來證明積分存在 然後再用這個求積分值？)
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