※ 引述《suhorng ( )》之銘言：
: ※ 引述《obelisk0114 (追風箏的孩子)》之銘言：
: : 2 1
: : 題目:用黎曼和求∫ ----- dx
: : 1 2
: : x
: : 我的解法:
: : x在[1,2]等分n段,n->∞,每段1/n
: : Upper Sum = 1/n * ( (1/ 1^2) + (1/(1 + 1/n)^2) +...+ (1/(1 + (n-1)/n)^2) )
: : Lower Sum = 1/n * ( (1/(1 + 1/n)^2) + (1/(1 + 2/n)^2) +...+ (1/(1 + n/n)^2) )
: : 然後就卡住了,後面那一串Mathematica說:是digamma
: : 用高中的方法怎麼往下化簡?
: 記得在學資(還是大一微積分課本..忘了.)看到一個做法:
: 令分割 P = {1, 1 + 1/n, 1 + 2/n, ..., 1 + (n-1)/n, 2}
: ______________________
: 對於每一個區間 [1 + (k-1)/n, 1 + k/n], 我們取樣點 √(1 + (k-1)/n)(1 + k/n)
: 則其黎曼和 S(P, 1/x^2) 為
: n 1 1
: Σ --- ------------------------
: k=1 n (1 + (k-1)/n)(1 + k/n)
: n 1 1 1
: = Σ ---(------------- - ---------) n
: k=1 n 1 + (k-1)/n 1 + k/n
: = 1 - 1/2 = 1/2
: 所以最後的積分值會是 1/2
: (可以用你原本的上和、下和相減來證明積分存在 然後再用這個求積分值？)
昨晚我在想怎麼要取到這個樣點
貌似有點循環論證
給一個連續絕對遞增(遞減也可)函數,所以他一對一,有反函數
f：[a,b] ←→ [f(a),f(b)] ：f^(-1)
任給給一個分割P={a=x_0<x_1<...<x_n=b}
藉由積分中間值定理,對每個i=1~n,存在c_i€[x_i,x_(i-1)]
x_i
S fdx = f(c_i)(x_i-x_(i-1))
x_(i-1)
x_i
又因為f有反函數 S fdx
x_(i-1)
所以c_i是唯一決定的,其值是c_i=f^(-1)( ────── )
x_i-x_(i-1)
我猜s大之前看到的方法的取點是從這邊來的
可是這樣也是需要x_(i-1)到x_i的積分值
如果題目的用意真的是要考這個的話 我覺得有點奇怪= =
因為題目要求用黎曼和做 1到2的積分 不要用FTC
可是我們變成先用FTC做每段的積分再用黎曼和
不過這樣做也沒錯拉...
畢竟數學存在很多例子是"我就是找到了耶!我超強!"
像是線代的:A,B都是反矩陣 求AB也是可逆矩陣
作法也是造一個C = B^(-1) * A^(-1)
一點想法請指教
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