推 whereian :帥喔！感謝！ 03/07 10:56
固然爆開的答案沒有問題，但是運算上稍嫌麻煩
我這邊提供另一個換底配合根與係數的想法~~
首先令 f(x) = x^4+x^3+x^2+x+1 利用一連串的綜合除法以 (1-x) 換底
f(x) = (1-x)^4 -8(1-x)^3 +10(1-x)^2 - 10(1-x) +5 = 0
明顯地 x不等於1 所以等號兩邊同除以 (1-x)^4
得 5/(1-x)^4 -10/(1-x)^3 +10/(1-x)^2 -8/(1-x) + 1 = 0
所以要求1/(1-a) + 1/(1-b) + 1/(1-c) + 1/(1-d) 好像求以 1/1-x 之四根和
故1/(1-a) + 1/(1-b) + 1/(1-c) + 1/(1-d) = - (-10)/5 = 2
※ 引述《a181w (鱉)》之銘言：
: ※ 引述《whereian (飛)》之銘言：
: 已知(a,b,c,d)是 x^4+x^3+x^2+x+1=0 的四個根
: 求 1/(1-a) + 1/(1-b) + 1/(1-c) + 1/(1-d) = ?
: (1-b)(1-c)(1-d)+(1-a)(1-c)(1-d)+(1-a)(1-b)(1-d)+(1-a)(1-b)(1-c)
: -------------------------------------------------------------------- =
: (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)
: 分子展開
: [1-(b+c+d)+(bc+bd+cd)-bcd+1-(a+c+d)+(ac+ad+cd)-acd+1-(a+b+d)+
: (ab+bd+ad)-abd+1-(a+b+c)+(ab+ac+bc)-abc]
: =4-3(a+b+c+d)+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-(bcd+acd+abd+abc)
: 分母展開
: [1-(a+b+c+d)+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-(abc+abd+acd+bcd)-abcd]
: a+b+c+d=-1
: ab+ac+ad+bc+bd+cd=1
: abc+abd+acd+bcd=-1
: abcd=1
: 分子等於4+3+2+1=10
: 分母等於1+1+1+1+1=5
: ANS 2
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