Re: [中學] n^3 < 3^n 對自然數n大於等於4恆成立

[cacud (白熊咖啡廳)]

證明 n^(n+1) > (n+1)^n for all n 屬於自然數，n大於等於3

pf:使用數學歸納法.

當 n=3 時, 3^4 > 4^3.

假設 n=k 時，原式成立，即 k^(k+1) > (k+1)^k 成立

                               k
                      <=> k*(-----)^k > 1 成立
                              k+1

則當 n=k+1 時，欲證 (k+1)^(k+2) > (k+2)^(k+1)

                     (k+1)^2     k+1
                 <=> ------- x (-----)^k > 1
                      (k+2)      k+2

      (k+1)^2     k+1       (k+1)^2          1
 因為 ------- x (-----)^k = ------- x (1 - -----)^k
       (k+2)      k+2        (k+2)          k+2

                            (k+1)^2          1
                          > ------- x (1 - -----)^k
                             (k+2)          k+1

                            k^2+2*k+1      k
                          = --------- x (-----)^k
                               k+2        k+1

                             k^2+2*k       k
                          > --------- x (-----)^k
                               k+2        k+1

                             k*(k+2)       k
                          = --------- x (-----)^k
                               k+2        k+1
                                 k
                          = k*(-----)^k > 1  by數學歸納假設。
                                k+1
所以由數學歸納法知，原式成立。

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◆ From: 1.175.33.253
→ cacud       :類似的題目~