→ holgaga :第三題從(1)(2) 式解聯立 不知道有沒有更快的方法 03/18 04:03
推 nelavhsu :第1題正確題目是1/1+1/[1+(1+2)]+1/[1+(1+2)+(1+2+3) 03/18 04:11
→ nelavhsu :]+... 03/18 04:12
→ holgaga :.......好吧 那就當我解了另外一題吧... 03/18 04:16
※ 引述《whereian (飛)》之銘言：
: ※ 引述《nelavhsu (囂)》之銘言：
: : 1. 試利用1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n)=n(n+1)(n+2)/6
: : 計算1/1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+...+1/(1+2+3+...+n)之和
: Σ6/k(k+1)(k+2) = 3Σ1/k(k+1) - 1/(k+1)(k+2) = 3/2 -3/(n+1)(n+2)
: 分項對消，不知道算的答案對不對
不能直接把那公式倒數@@(是說我不知道給那公式要怎麼利用...)
利用1+2+3+...+k=k(k+1)/2
1/1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+...+1/(1+2+3+...+n)
n
=Σ [2/K(K+1)]
k=1
n
=2Σ [1/K-1/(K+1)]
k=1
=2[(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/n-1/n+1)]
=2[1-1/(n+1)]=2n/(n+1)
: : 2. n屬於N 若方程式X^2+(2n+1)X+n^2之二根為an bn 求Σ(10,k=3){1/[(ak+1)(bk+1)]}
: Σ1/(n^2-2n) = Σ 1/n(n-2) = 1/2Σ 1/(n-2) - 1/n = 1/2 -1/20
: 也是分項對消，不知道算的答案對不對
原PO懶得修正我順手幫改XD
只有最後一步算錯
10
1/2Σ [1/(n-2) - 1/n] =[(1/1-1/3)+(1/2-1/4)+...+(1/8-1/10)]/2
k=3
=(1+1/2-1/9-1/10)/2
=29/45
: : 3. a<0 b不等於0 六個實數:a,b,c,-9/b,-36/a,d 成等差數列 求六數之和
: 這題我只會用笨方法硬幹，(a,b) = (-6,-3)，不知道算的答案對不對
: 如果等一下有想到更好的再PO
提供我的方法 (但我覺得硬幹也很快)
a-36/a=b-9/b....(1) (因為等差數列a1+a5=a2+a4)
a+36/a=2(b+9/b)...(2) (因為a1-a5=2(a2-a4))
(1)+(2)得2a=3b+9/b...(3)
(2)-(1)得72/a=b+27/b...(4)
(3)X(4)得144=3b^2+90+(243/b^2)
整理得b^4-18b^2+81=0
(b^2-9)^2=0
b^2=9 b=±3 (3不合)
b=-3帶回(3)式得a=-6
所求六項之和=-6-3+0+3+6+9=9
: : 4. 正六邊形 邊長=2 取每一邊的中點為頂點 再做一個正六邊形 如此繼續做下去 求所有正六邊形的面積總和
: 無窮等比
: 最大的六邊形的外接圓半徑與其內切園半徑之比即為公比
: 好像是2分之根號3.....
除了上篇推文我提到面積的公比是3/4以外
再提供一個不用到外接圓跟內切圓找邊長公比的方法
第一個正六邊形相鄰的任兩邊把中點連起來後
會看見一個(30度,30度,120度)的等腰三角形
對應邊長比為1:1:√3
而對應邊長確切長度也剛好是1,1,√3
√3就是中點連線正六邊形的邊長
所以邊長比為2:√3，則面積比為4:3
第一個正六邊形的面積為6√3
所求=6√3/(1-0.75)=24√3
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