[線代]symmetrized product hermitian matrix

[linshihhua (linshihhua)]

請問該如何證明

if A is positive definite

and S=AB+BA is positive semidefinite (positive definite)

then B is positive semidefinite (positive definite)

感謝幫忙

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.128.127.71
→ Vulpix      :好像可以去看B的sub det.，可是算到3*3就快炸了。
→ Vulpix      :應該會有更直接的方法...
→ WINDHEAD    :隨意做...令 K=B-B^t 就有 AK=-KA, 故 K 將 A 的
→ WINDHEAD    :特徵向量 v(滿足 Av=av) 映至 A 的特徵值為 -a 的
→ WINDHEAD    :特徵向量 Kv. 但 A 只有正特徵值, 故 K=0,故B對稱
→ WINDHEAD    :把 S 的半正定寫開就得到 B 的半正定了
→ Vulpix      :啊，只要挑B的特徵向量去做就可以了...
→ Vulpix      :B的特徵值b, 特徵向量x.
→ Vulpix      :b=x'Sx/(2x'Ax)