[微積] Green Theorem

[EggAche (蛋疼)]

        Let x = 6cost, y = 6sint, 0 ≦ t ≦ 2pi

                        x     3           x   3
        試求線積分 ∮( e y - y  ) dx + ( e + x  )dy



        我有疑問的是, 如果以 Green Theorem 下去求解,

令 M = (e^x)y - y^3

   N = e^x + x^3



   ∫c [ 2y - e^(cosx) ] dx + ∫c { 5x + (y^4 + 2)^(1/2)} dy

          partial (N)     partial (M)
 = ∫∫{ ------------- - ------------- } dA
          Partial  x      partial  y

  ( R: x^2 + y^2 < = 36)


 = ∫∫( 3x^2 + 3y^2 ) dA

    2π 6
 = ∫  ∫ (3r^2)rdrdθ
    0   0
                  6
 = 2π(3/4)(r^4) |
                  0

 = 1944π



        這樣是得到正確的解答,
        但是為什麼不能夠將( 3x^2 + 3y^2 )<= 3*36 = 108
        代入逕行積分呢？
        （這樣得出來答案會是兩倍…）

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.46.115.17
推 silentchaos :因為積的是函數而非常數 就跟要算某函數在某值的微分
→ silentchaos :值 要先微分再帶值是一樣的道理
        恩... 但是另外有一題


                                        2   2   2
    令 C 為平面 x - 2y + 2z = 9 與球面 x + y + z = 25 相交之圓

                       2        2         2
    若 Vector F = ( -2z )i + ( x )j - ( 4y )k, 依順時針方向旋轉


    求線積分 ∮F dot dr



        curlF = ( -8 )i + ( -4z )j + ( 2x )k

        unit vector n = (1/3)i + (-2/3)j + (2/3)k

        ds = (3/2)dA

        Then ∮F dot dr = ∫∫(curlF dot n) ds

                        = ∫∫(1/3)(4x-8y+8z) ds

                        = 12 ∫∫ds = 192pi

    這邊卻又是直接代入?
※ 編輯: EggAche         來自: 114.46.115.17        (03/23 00:54)
推 newversion  :你的n好像要加負 順時針<--應該是講從z軸往下看
推 newversion  :差別在第一題 x^2+y^2=36 只有在邊介滿足，足滿每一
→ newversion  :點並不滿足。而第二題，內部每一點都x - 2y + 2z = 9
→ newversion  :第一題可想成 z=0 和 球x^2+y^2+z^2=36相交
→ newversion  :內部每一點只滿足 z=0
推 newversion  :第2行打錯字了..                        內部每一點