[微積] 關於高斯積分的問題

[globalize ()]

exp(-x^2)從0積分到正無限大的積分

我不明白他的證明為什麼可以這樣寫:(以下皆從0~積分到無限大)

I=exp(-x^2)dx -------(1)
I=exp(-y^2)dy -------(2)

I^2=exp(-x^2)dx * exp(-y^2)dy ----(3)

接下來就是xy座標變換到極座標進而解出積分值

我不明白的地方是

(1)和(2)分開來看是獨立的 其中變數要用什麼都可以

可以寫成 exp(-t^2)dt , 不會影響他的積分值

但是到了(3) x和y彼此卻又有相關, x^2+y^2=r^2

我卡在這裡想了很久 , 明明原本是分開獨立的, 但是相乘之後卻又有彼此相關

(因為我們不可能得到 x^2+x^2=r^2, 一定要x^2+y^2,才會得到r^2)

這樣的算法沒有問題嗎?

我的想法哪裡錯了呢?

謝謝各位!!

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◆ From: 1.34.149.112
→ Vulpix      :x,y是獨立的變數沒錯喔。
→ globalize   :是阿, 我卡在這裡想了很久, 既然是獨立的, 又如何得
→ globalize   :到 x^2+y^2=r^2?  這樣是不是隱含不是全然獨立的呢?
推 endlesschaos:是獨立的啊  即使在極座標裡的 x 和 y 也是獨立的變
→ endlesschaos:數  就因為獨立且彼此正交才能剛好等於 r^2
→ globalize   :我想了一下 還是不太明白...  我們不能得到 x^2+x^2
→ globalize   :=r^2  也不能得到 x^2+t^2=r^2, 為什麼x^2+y^2=r^2
→ globalize   :的算法沒有問題? 我哪裡想錯了呢?
→ Vulpix      :就這個情況，所謂x,y不獨立是說給了個x，就能算出個y
→ Vulpix      :但是在連r是多少都不知道的時候，即使有x^2+y^2=r^2
→ harveyhs    :(x,y)-->(r,theta), 是兩個自由度換兩個自由度啊
→ Vulpix      :也算不出y啊。
→ harveyhs    :只是theta部分的積分簡單到你心算掉了都沒感覺XD
→ sneak       : =r^2  也不能得到 https://muxiv.com
→ sneak       : 到 x^2+y^2=r https://daxiv.com
→ sneak       : //muxiv.com
→ sneak       :  https://muxiv.com
→ sneak       : x,y是獨立的變數沒錯 https://noxiv.com
→ muxiv       : 就這個情況，所謂x,y http://yaxiv.com