推 globalize :好漂亮, 謝謝您的解答!! 03/23 14:22
嚴格來說是根據以下過程：
a
Let I_a = ∫exp(-x^2)dx
0
Then lim I_a = ?
a→∞
--------------------------
a a
(I_a)^2 = ∫exp(-x^2)dx * ∫exp(-y^2)dy ←┐
0 0 │
~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ │
只是一個實數 只是一個實數 │holds by Fubini
│
a a │
= ∫∫ exp(-x^2) * exp(-y^2) dxdy ←┘
0 0
所以現在是f(x,y) = exp(-x^2) * exp(-y^2) 這個函數在積 S = [0,a]X[0,a]這個正方形
在此domain下不能換成極座標！很難寫
所以你要考慮兩個domain
一個是以0為圓心，a為半徑的1/4圓在第一象限，稱之為C_1
另一個以0為圓心，(√2)a為半徑的1/4圓在第一象限，稱之為C_2
則因為f是正向函數，且 C_1 < S < C_2 ("<"代表被包含)
所以 ∫∫ f dxdy <= ∫∫ f dxdy <= ∫∫ f dxdy
C_1 S C_2
~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~
(A) (B) (C)
而分別在C_1,C_2用極座標才是漂亮的式子：
C_1：r= 0 → a , θ = 0 → π/2
C_2：r= 0 → (√2)a , θ = 0 → π/2
之後讓a跑到無限，(A)與(C)跑到同一個值
藉由夾擠定理就可以夾出(B)跑到同一個值
也就是說已經求得 lim (I_a)^2 = L 了
a→∞
又因為I_a是正的函數，不難證出 lim I_a = √L
a→∞
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※ 編輯: znmkhxrw 來自: 1.171.30.235 (03/23 13:32)