[中學] 排列組合

[xenium989 (xenium989)]

請問c(3,3)+c(5,3)+c(7,3)+…+c(21,3)=4015

方法一
此題我用的方法是稍化簡後分母都為6，接下來就是用級數公式寫出，
然後算出4015這個答案。

方法二
後來又想到它不就是(1+x)^3+(1+x)^5+(1+x)^7+…(1+x)^21中 x^3的係數，
但問題是我先將(1+x)^3+(1+x)^5+(1+x)^7+…(1+x)^21用等比級數算出和再
利用二項式定理算出的答案竟然不一樣，我算了三次就是得不到4015，不知
各位高手我是否有那裡出錯呢？謝謝
我的解法如下
(1+x)^3+(1+x)^5+(1+x)^7+…(1+x)^21=[(1+x)^23-(1+x)^3]/(x^2+2x)
所以就是求(1+x)^23中x^5的係數，這樣不知錯在那裡？謝謝

再加問一下，我本來以為是巴斯卡就可以拆開化簡得到，但一直找不出，懇
請高手指點，謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.121.18.184
→ a88241050   :你不把你的做法PO出來我們怎麼知道你哪裡出錯?
推 bbfisher    :用等比級數分母還要再處理?
→ xenium989   :抱歉…那我補一下我方法二的算式…謝謝
※ 編輯: xenium989       來自: 122.121.18.184       (03/23 21:43)
→ a88241050   :[(1+x)^23-(1+x)^3]/(x^2+2x)中x^3的係數跟(1+x)^23
→ a88241050   :中x^5的係數怎麼會一樣?
→ a88241050   :而且方法二沒用,因為你到時候展開就會變成題目的那個
→ a88241050   :式子,然後還是得用別的方法算
→ xenium989   :x^5的係數/x^2得到的不是x^3的係數嗎？還是我認知有
→ a88241050   :你是除以x^2+2x不是x^2,你怎麼能直接把2x去掉?
→ xenium989   :對吼…我在耍笨明明不同(敲頭)~謝謝a大不厭其煩指教
→ xenium989   :不知是否除了方法一外有更快的方法呢？謝謝
→ tzhau       :寫成summation
→ Vulpix      :應該還算是有用的吧，微個三次再讓x->0也能得到。
→ Vulpix      :或者把分母Laurent展開，然後作一點乘法。
→ sneak       : 對吼…我在耍笨明明不同 https://noxiv.com
→ sneak       : 式子,然後還是得用別的 https://daxiv.com
→ sneak       : 用等比級數分母還要再處 https://daxiv.com
→ sneak       : //daxiv.com https://noxiv.com
→ muxiv       : 用等比級數分母還要再處 http://yaxiv.com