Re: [微積] 積分速算法

[Heaviside (Oliver)]

※ 引述《Laoda245566 (草莓獸)》之銘言：
: 如題
: 積分有一種速算法
: 左邊微分
: 右邊積分
: 然後左邊第一＊右邊第二
: 以此類推
: 我這樣算ｘｌｎｘ隊ｘ積分　會不對
: 為什麼


此為分部積分法

原理： d(fg)=fd(g)+g(f) => fd(g)=d(fg)-g(f) => ∫fd(g)=fg-∫gd(f)

                                            => ∫fg'dx =fg-∫gf'dx

可得
欲使用分部積分法時
必須將積分拆成 f(x)和g(x)
且f(x)要容易微分  g(x)要容易積分


以本題為例：

∫xln(x)dx   雖然x容易積分也容易微分  但ln(x)不易積分

故 令f(x)=ln(x)  g'(x)=x

                       1                 1
代入可得  ∫xln(x)dx= ──(x^2)lnx(x)-  ── x^2 +c
                       2                 4

表格法-速解

若是∫gf'dx難解 又要再使用一次分部積分法時
算式過長 容易筆誤
所以 使用表格法
將易微分項(ex: x^n、lnx)放第一欄  易積分項(ex: exp(x) sin(x)...)放第二欄

以本題為例

口訣     ±  微         積

         +   lnx        x
                   ↘
         -   1/x  →  0.5x^2   箭頭是指兩兩相乘

斜的乘 是直接相乘
水平乘 是相乘後對x積分

可得 ∫xlnxdx = 0.5x^2 ln(x) -∫0.5/x dx

若是可繼續微分到0 那就繼續往下微分
若是像本題一樣 一直微分微不盡
那麼 做到此 再從表格法轉成算式即可


Homework  ∫x^2 sin(2x)dx

1. 使用分部積分法運算
2. 使用表格法運算

解答(請開燈)：(-0.5x^2+0.25)cos2x+0.5sin2x+c

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◆ From: 61.230.126.5
推 j0958322080 :Homework
推 oldmove     :表格法好像成大不允許用@@
→ cacud       :好完整阿XD
→ Heaviside   :無所謂呀 反正就用鉛筆寫在旁邊 然後抄答案上去就好
→ Heaviside   :就像很多ODE 也都是偷用Laplace然後抄答案XD
推 yuyumagic424:表格法其實在Thomas calculus裡有介紹
→ yuyumagic424:我看到是有點驚訝  但其實也蠻合理的
※ 編輯: Heaviside       來自: 111.243.118.200      (04/25 23:33)