在正定矩陣流形裡
每一點的切空間都是 Hermitian 矩陣所形成的向量空間
給定A點的切空間內積 <H1,H2>=trace(A^-1H1A^-1H2)
令 A=I r(t)=B^t
我想說明這 r(t) 這條曲線是連接 I, B 的最短曲線
所以令L(t)為另一條曲線使得L(0)=L(1)=0
做變分
1
d/dε∫{g (r'(t)+εL'(t),r'(t)+εL'(t))}^(1/2)dt|
[r(t)+εL(t)] ε=0
0
我已經知道變分出來會等於0了
但是為什麼書上還要說
因為 g (r'(t),r'(t))=Tr(logB)^2 跟 t 無關
r(t)
所以 r(t)=B^t 是連接 I 與 B 的最短曲線
不能做變分等於 0 就說 r(t)=B^t 是最短曲線嗎?
另外想請問
黎曼流形上連接兩點的測地線不一定是最短的線
但是連接兩點最短的線一定是測地線這樣子嗎?
非常感謝大家的幫忙
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.128.127.71