→ holgaga :詳細一點的版本是這樣 03/27 18:12
→ holgaga :上面W大是直接解釋最後面的那個分項對消的方法 03/27 18:13
※ 編輯: holgaga 來自: 1.162.60.124 (03/27 18:15)
※ 引述《kess (她來聽我的演唱會)》之銘言：
: lim
: [1/1*2+1/1*2+2*3+...+1/1*2+2*3+...+N*(N+1) ] = 3/4
: n-->無窮大
: 怎麼解(需要過程)
: 感恩
n
先算算1*2+2*3+...+n*(n+1)=Σ k(k+1)
k=1
n n
=Σk^2 + Σk
k=1 k=1
=[n(n+1)(2n+1)/6]+[n(n+1)/2]
=n(n+1)(n+2)/3
n=1, 1*2=(1*2*3)/3
倒數後1/1*2=3/(1*2*3)
n=2, 1*2+2*3=(2*3*4)/3
倒數後1/(1*2+2*3)=3/(2*3*4)
...
n=n, 1*2+2*3+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
倒數後1/[1*2+2*3+...+n(n+1)]=3/[n(n+1)(n+2)]
原式就是把上述n=1到n=n倒數後的情況加起來後，n趨近無限大
原式=lim 3/(1*2*3)+3/(2*3*4)+3/[n(n+1)(n+2)]
n->∞
∞
=Σ 3/k(k+1)(k+2)
k=1
∞
=3Σ 1/k(k+1)(k+2)
k=1
通分
最後,因為 1/[k(k+1)]-1/[(k+1)(k+2)]=2/k(k+1)(k+2)
∞
3Σ 1/k(k+1)(k+2)
k=1
∞
=(3/2)*Σ1/[k(k+1)]-1/[(k+1)(k+2)]
k=1
=(3/2)*[(1/1*2-1/2*3)+(1/2*3-1/3*4)+...]
分項對消後
=(3/2)*(1/2)
=3/4
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◆ From: 1.162.60.124