※ 引述《whereian (飛)》之銘言：
: ※ 引述《kess (她來聽我的演唱會)》之銘言：
: : lim
: : [1/1*2+1/1*2+2*3+...+1/1*2+2*3+...+N*(N+1) ] = 3/4
: : n-->無窮大
: : 怎麼解(需要過程)
: : 感恩
第一項 1/1*2
第二項 1/1*2+2*3
....
第k項 1/1*2+2*3+...+k*(k+1)
k
分母部份 1*2+2*3+...+k*(k+1) = Σ i*(i+1)
i=1
: Σ k*(k+1)*(k+2) - (k-1)*k*(k+1) = Σ 3*k*(k+1)
改個代號 k → i
k
Σ {i*(i+1)*(i+2) - (i-1)*i*(i+1)}
i=1
k
= Σ i*(i+1)*{(i+2)-(i-1)}
i=1
k
= Σ i*(i+1)*3
i=1
: → n*(n+1)*(n+2)/3 = Σk*(k+1)
改個代號 k→i ， n→k
k
即 3 * Σ i*(i+1) = {(1*2*3)-(0*1*2)} + {(2*3*4)-(1*2*3)} + ......
i=1
+ ...... + {{k*(k+1)*(k+2) - (k-1)*k*(k+1)}}
= k*(k+1)*(k+2) - (0*1*2)
= k*(k+1)*(k+2)
k
=> Σ i*(i+1) = k*(k+1)*(k+2)/3
i=1
倒數後→拆項對消
: 1 1
: 所以本題其實是 Σ3/k*(k+1)*(k+2) = 3/2 Σ--------- - -------------
: k*(k+1) (k+1)*(k+2)
: 分項對消之後的結果 ， n-->無窮大 時的答案 = 3/4
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◆ From: 112.104.72.115