→ doom8199 :i=j 打錯了XD w_k = exp(2*pi*i*k/7) 03/29 07:33
推 snaredrum :坦白說看不太懂，為什麼e. vector是w_j排列? 03/29 23:33
※ 引述《permath (亢龍有悔)》之銘言：
: 我現在手頭上有21個七維向量
: 座標如下: 就是兩個5/7 跟五個-2/7 在那邊排列組合~
: 所以總共有 7!/(5!2!) = 21
: v1= (5/7,5/7-2/7,-2/7,-2/7,-2/7,-2/7)
: v2= ....
: v3= ....
: ...
: ...
: v21= ...
: 現在問題如下: 這21個向量 都滿足 x_1 + x_2 + ... x_7 =0
: 所以他們躺在R^6裡面，你知道 我知道 獨眼龍也知道
: 必定存在一個矩陣A (7x7) in SO(7)，
: 使得A作用在這21個向量上會變成第七個component是0的向量。
: 就是把他們打回R^6。 請問這矩陣是?
: 我只知道第七列會全為1~~~ 還有42個位子要決定... XD
: 就幾何觀點，這個矩陣A其實會fix住五個向量 然後在某個R^2平面作旋轉
: 即使知道這個好像還是不知道怎麼把矩陣A確切寫出~~
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令 (a, b) = (5/7, -2/7)
取其中 7 個 vectors 組成以下 square matrix (簡稱 M) :
┌ a a b b ... b ┐
│ │
│ b a a b ... b │
M = │ ... │
│ b b b b ... a │
│ │
└ a b b b ... a ┘
因為 M 是 circulant
2 6 T
=> eigenvector v_i 為 [1 w_j w_j ... w_j ]
eigenvalue λ_i = ┌ 0 if i=0
│
└ 1 + w_j if i>0
where w_j is a root of w^7 = 1 , j = 0 ~ 6
所以 M 矩陣可寫成 MV = VΣ
-1 -1
<=> V M = ΣV
提示到這邊應該夠了
ps: 原 po 也能用 PCA 直接做，結論應該會類似
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◆ From: 175.98.124.34