[微積] 2x^2+3x-1=0 對 x 微分 是啥

[alfadick (悟道修行者)]

標題這樣寫大家一定感覺像在鬧板 XD 為了吸引觀眾啊..

最近在讀梯度時觀念上有一處很模糊, 再扯梯度之前, 先提一下他處的問題,

最後一路類比到梯度, 把我的梯度的疑問提出來. 請大家有點耐心.


我們說有一函數 f(x)=2x^2+3x+1, 可以對它取導函數,

df(x)
-----  = 4x+3  ,
  dx


但是我們有對 2x^2+3x+1 =0 取導函數的說法嗎？

前者是對 y=f(x)=2x^2+3x+1 取導函數 , 後者是 2x^2+3x+1=0, 感覺後者的說法很怪.

暫時跳開一下, 我們說,

x=6, 可以左右一起加上一個常數9, 得 x+9=6+9,

嗯, 沒問題, x也還是原來的解沒有增根

x=6, 可以兩邊平方，得x^2=36,

嗯, 也沒問題, 但是x除了原本的6之外，還增根了，增了一個根，叫作-6

所以 x=6, 左右兩邊一起平方, 得 x^2=36 <=>  x = ±６

這裡的兩邊平方是什麼意思？感覺就不是像等量加法公理、乘法公理那麼嚴謹

數學界好像也沒有相關的理論仔細討論這等號左右兩邊一起「平方」或幹嘛幹嘛

是什麼意思. 我自己是解釋成 左右兩邊(x與6)一起代進函數f(x)=x^2 這樣.


好的, 回到 2x^2+3x+1=0, 左右兩邊一起對 x 微分(同取 d/dx)

得:

         2
       2x + 3x + 1 = 0

        d                     d
 ==>   --- (2x^2 + 3x +1) =  ---- (0)      <===>   4x+3 =0
        dx                    dx


這個「左右兩邊同時blah blah blah」之下, 可以看出原本方程式的解為 -0.5/-1

可是左右兩邊一起同時對 x 微分之後,

x 增根嗎？ 不，沒有

x 減根嗎？ 對

更誇張的是, x 連保有原來的解 x=-0.5/-1 都不了, 面目全非, 變成 x=-0.75



可見這對左右兩邊同時怎樣怎樣怎樣的動作做起來有風險，

有些高中題目, 指對數方程式解不出來, 就左右兩邊同取 log, 讓某些指數掉下來,

以解方程式. 在那時候我們都不會有什麼懷疑，覺得：「左=右」，

左右兩邊同時平方、同時開根號、同時取log、同時取自然指數為底...有什麼問題呢？

左右兩邊同取log, 解出來的x是誰就是誰啊.. 還有疑問嗎？

可是微分在這裡就不然。他會把你的 x 的解完全搞得面目全非。


第一個問題是，為什麼會有這麼奇怪的現象？

第二個問題就是梯度了，

z = f(x,y) = 3x^2 + 2xy + y^2, 這大家都會算梯度,

算出來是二維向量 ▽f(x,y), 唯一

可是這裡也可以寫成, F(x,y,z) = z-f(x,y) = z- 3x^2 -2xy -y^2 =0

原文書課本說, 這樣也可以求梯度 ▽f(x,y,z)

這樣求出來的梯度, 似乎不是唯一的

因為誰跟你說一定要寫成 z-3x^2-2xy-y^2 = 0?

我也可以寫成 3z-9x^2-6xy-3y^2=0, 還是同一個三度空間圖形啊,


因此▽f(x,y,z)就會完全是另一個向量了, 在點(1,2,11)的梯度也不唯一,

請問這批梯度有什麼關係？原文書好像沒強調耶.

即:  z=f(x,y)=3x^2+5xy-6y^2 在二維的梯度是唯一，在三維的梯度是不唯一？

這麼重要的東西原文書居然沒寫 @@

另外就是梯度▽f(x,y,z)垂直level surface f(x,y,z)=0 的證明過程中,

就是用到我說的左右兩邊同對某變數取導函數的推導過程來證明,

為什麼不會有問題啊...冏

包括向量函數 r(t) dot r(t)=  常數  =>  r(t)垂直r'(t) 的證明過程也都這樣用.

有板上高手可以順便證明一下嗎？或者指出為什麼在那種地方的證明過程中,

有一步是f(t)=0, 用了「左右兩邊同取對t的導函數」, 結果之後等號左右兩邊的t跟原本

是同一批解幾合.

多謝。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.162.250.76
※ 編輯: alfadick        來自: 1.162.250.76         (04/05 17:28)
→ wohtp       :平方、根號、指數、對數...都有反函數，但是導數沒有
→ wohtp       :反導函數後面一定有個不明的積分常數
→ alfadick    :感覺好像就是這個原因耶!有沒有辦法嚴謹的把來龍去脈
→ alfadick    :寫出來：左右兩邊一起xxx 跟函數反函數之間的關係
推 mixxim      :其實應該說微分並不是"對兩邊取函數"的動作。我們可
→ harveyhs    :一個方程式=0點就只有他的根啊@@
→ mixxim      :以假設f(x)=2x^2+3x+1，g(x)=0，題目相當於解y=f(x)
→ mixxim      :與y=g(x)的交點；但在f(a)=g(a)時，會有f'(a)=g'(a)
→ mixxim      :嗎？沒有，斜率不一定相同。一般對兩邊取函數的狀況
→ mixxim      :是f(a)=g(a)，那麼h(f(a))=h(g(a))，可是微分並不是
→ mixxim      :這樣的函數h，所以會出問題。
→ mixxim      :拍謝打錯是 h(f(a))=h(g(a))
為方便邊看邊思考, 我直接修你中間的推文囉
推 yuyumagic424:http://calculus.yuyumagic424.net/?p=266
推 wohtp       :或者換個角度看， 2x^2 + 3x - 1 = 0 已經限制 x 只
→ wohtp       :能是兩個實數其中之一了，所以你根本沒得改變 x
→ wohtp       :所以沒有微分這回事
→ wohtp       :假如你的式子是 2x^2 + 3x - y = 0
→ wohtp       :當 x 給定，y 的值也會固定，也就是它們並非獨立變數
→ wohtp       :但 x 仍然可以是任意實數，所以你還是可以對 x 微分
→ wohtp       :4x + 3 - dy/dx = (d/dx) 0 = 0
→ wohtp       :這樣也是對的
→ wohtp       :所以，微分一個「方程式」之前，要先看獨立變數是什
→ wohtp       :麼，或者還有沒有獨立變數讓你微分

嗯嗯, 謝謝您的熱心回覆,

我也這樣猜耶, 可是原文書證這個例子時

http://ppt.cc/1yOB


我在想, 那個 x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2 = C 之後

左右一起微分的動作, 應該也有問題


假設x(t), y(t) ... 合在一起是個四次方程式好了,

根據代數基本定理, 最多了不起四個實根t, 再怎樣也不會是獨立變數呀

會不會他證錯了？

※ 編輯: alfadick        來自: 1.162.250.76         (04/05 19:35)
→ wohtp       :x = sin t, y = cos^2 t, z = cos t sin t
→ wohtp       :你覺得這樣如何？
→ alfadick    :http://ppt.cc/Hdg7  看起來有無限個t了~
→ alfadick    :可是這種的無限個t, 就算dependent variable了嗎
→ alfadick    :好模糊的感覺喔 >< 這些無窮個t是分離的, 也不能微分
※ 編輯: alfadick        來自: 1.162.250.76         (04/05 19:58)
→ wohtp       :y 是 cos 平方，不是 cos 2t
推 herstein    :因為你的x(t),y(t),z(t)是t的函數，所以你可以同時微
→ herstein    :兩邊同時對t微分。
           2
令 x(t)= 2t  + 3t + 1 ,  x(t)是t的函數

    x(t)=0,   左右同時對 t 微分

    x'(t)=0     =>  4t+3=0     @@ 我還是覺得哪裡怪怪的
※ 編輯: alfadick        來自: 1.162.250.76         (04/05 21:12)
→ alfadick    :等一下 我腦袋快燒壞了,如果覺得我跳針先別怪我XD
推 herstein    :x(t)=2t^2+3t+1是t的函數，但x(t)=0不是t的函數
→ Vulpix      :你想要類比的話應該用這個：
→ Vulpix      :2x(t)^2 + 3x(t) + 1 = 0 兩邊同時對 t 微分 ^^
→ Vulpix      :如此我們得到的是： (4x(t)+3)x'(t)=0
→ Vulpix      :4x(t)+3不可能是0，因為2x(t)^2 + 3x(t) + 1 = 0
→ Vulpix      :所以得到x'(t)=0，這是完全沒有問題的。
→ wohtp       :樓上這位，x(t) = 0 是 t 的函數啊...
→ wohtp       :這句有好幾種意思，可能我誤解了 = =
→ wohtp       :2t^2 + 3t + 1 = 0 並不是恆等式，所以 t 的值有限制
wohtp 大, 剛腦中閃過一個念頭：「恆等式」,

這應該就是徵結了, 您給的例子 x=sint, y=(cost)^2, z=costsint

三者平方相加，等於1, 即：

x(t)^2 + y(t)^2 +z(t)^2 = 1,  為恆等式


左跟右同為恆等式, 可以想成是 12x^3 + 2x -14 =  12x^3 + 2x -14

那左右一起同取... 你愛取什麼就取什麼....

所以原文書 http://ppt.cc/1yOB 的最大缺點就是,

他沒有明確告訴我們 x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2 = k (const) 是恆等式

即 x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2 恆為常數多項式,

即他根本不應該寫誰 of t 了。

 To be brief:

因為 t∈R (t 是 vector-valued function的參數)

又 x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2 = k,

本來很想用多項式恆等定理解釋：找到好幾個t使得左=右，得知左右兩式為恆等式

http://blog.udn.com/w2a1104/3530932

可是... x(t)可能是sin(3t)+log(t^3)+... 這種耶, 這種沒有多項式恆等定理

怎麼證恆等啊 @@
※ 編輯: alfadick        來自: 1.162.250.76         (04/05 22:28)
※ 編輯: alfadick        來自: 1.162.250.76         (04/05 22:33)
推 suhorng     :"兩邊同取微分" 其實沒那麼複雜
→ suhorng     :假設已知 f(x) = g(x) forall x
→ suhorng     :那 [f(x+h)-f(x)]/h = [g(x+h)-g(x)]/h forall x,h
→ suhorng     :取極限h→0就得到我們要的結果
→ suhorng     :只不過這裡他的 g(x) 恰巧是常數
→ suhorng     :你想要的東西有可能是隱函數定理
→ alfadick    :所以結論就是, ∀x: f(x)=g(x), 才可左右一起d/dx
→ alfadick    :等於是要恆等式才行~~
→ sneak       : 取極限h→0就得到我們 https://muxiv.com
→ sneak       : 所以得到x'(t)=0 https://daxiv.com
→ sneak       : 等一下 我腦袋快燒壞了 https://muxiv.com
→ sneak       : 與y=g(x)的交點； https://noxiv.com
→ muxiv       : 只不過這裡他的 g(x http://yofuk.com