作者alfadick (悟道修行者)
看板Math
標題Re: [其他] 1=0.9999999999999... 嗎
時間Fri Apr 5 18:39:16 2013
※ 引述《chronodl (我是市井小小民)》之銘言：
: 我知道答案是"等於"
: 也看了一些別人的證明
: 但是我想說 1=0.999999... 是錯誤的
: 理論上 也只在理論上啦
: 當討論到極限時 等號是可以成立的
佩服你的勇氣, 獨自和math板一堆高手對幹...
這邊提出一個角度讓正反兩方想想看,
如果有高中生堅持覺得 0.999999...≠１,可是又說不上來,
你或許可以考慮將本篇的想法教他, 讓他 argue 時比較使得上力.
what is 0.9999999999...?
應該是 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...... 的 Infinite Series(無窮級數)
n
0.9(1-0.1 )
所以它的和應該是 S_n = --------------
1-0.1
n
0.9(1-0.1 )
對此函數取
lim = -------------- = 1, 這個在微積分上可以嚴謹的證明出來,
(n->∞) 1-0.1
所以應該是 lim(某團東西) = 1， 在有無窮多項0.9+0.09+0.009+..的時候, 和趨近於1
而不是
(0.9+0.09+0.009+0.0009+...) = 1
或
0.99999999999999999... = 1
_
yes, 我是認為, 0.9 定義為 0.9+0.09+0.009+... 沒錯,
但是當我們好奇這一堆 term 加起來是多少時, 只能用 lim 來得知
當"n->∞"時, S會趨近於一個定值L. 但S會不會等於L？當然不會。
即：
_
0.9 = 0.9+0.09+0.009+... = 多少？
有 n 項相加時, 其值為 Sn = 0.9(1-0.1^n)/(1-0.1),
n=1 時, Sn= 0.9
n=2 時, Sn= 0.99
n=3 時, Sn= 0.999
......
n->∞時, S會趨近於一個定值L嗎？答案是會，那個值是誰？好巧不巧就是1。
2
不然你看, lim (x) = 4, 可是 x 靠近 2 時, x^2會逼近 4,
x->2
就算 x 無窮逼近於 2 了, f(x) 也無窮逼近於4, 可是也還是不會等於 4 啊.
2
(x-2) (x +3)
再舉個例子： lim -------------，
x->2 x-2
x 無窮靠近於2時， f(x) 會無窮靠近於 4+3 = 7, 可是永遠不會等於 7
因為真正在 7 = f(2) 的時候, 你發現 f(2) 根本沒有定義，所以f(x)恆不可能有7
可見真的是 f(x) 會無窮靠近於 7, 可是永遠不會等於 7,
lim f(x) = 7, 但f(x)永遠不等於7
x->2
lim S(n) = 1, 但 S(n) 永遠不會等於1
n->∞
歡迎指正。
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◆ From: 1.162.250.76
※ 編輯: alfadick 來自: 1.162.250.76 (04/05 18:41)
※ 編輯: alfadick 來自: 1.162.250.76 (04/05 19:29)
推 herstein :有些錯誤 04/05 20:07
→ linijay :如果你不願承認n->∞被賦予的定義，就別用它... 04/05 20:21
→ linijay :抱歉，我看/回太快，請無視二樓。 04/05 20:28
→ linijay :又看了一次，x^2那一段有問題。我老師告訴我， 04/05 20:38
→ linijay :「沒有差別」就是「相等」，而「趨近」的意思就是 04/05 20:38
→ linijay :近到你找不到任何更靠近的數字。 04/05 20:39
推 suhorng :樓上說的不太對...現在大家最常用的定義是要多靠近就 04/05 21:59
→ suhorng :能有多靠近 不是"找不到任何更接近的" (順序反了) 04/05 21:59
→ oginome :"找不到任何更接近的"不就等於"多靠近就能有多靠近" 04/05 23:08
→ suhorng :後者類似 "無論如何我都可以找到更接近的" 04/05 23:22
→ suhorng :這樣差很多吧? 04/05 23:23