作者TassTW (塔矢)
看板Math
標題Re: [其他] 1=0.9999999999999... 嗎
時間Sat Apr 6 00:02:38 2013
※ 引述《chronodl (我是市井小小民)》之銘言：
: 1.0000......00001
: 1.0
: 0.999999999999...
: 0.999....99999998
: 0.9999.9999999997
: 我認為 以上五個數是連續的五個數
: 如果1=0.999999...
: 0.9999...就會等於0.99999.9998
: 最後 整條數線上 每個實數都相等
: 出現 1=2=3=4=.... 的現象
: 故 1≠0.999999....
: 只是0.9999... 無限的接近1
: 0.9999...與1之間沒有其他的數字
: 但是兩個數是不同的
為了讓這個討論串趕快收斂,
我來用版眾看得懂的語言講一下你的想法,
順便說一下你的證明盲點在哪裡:
1. 此五數的定義
現代數學中實數可以被視為 "有理數柯西數列的等價類"
比方說 √2 用十進位表示大概是 1.414213...
那我們照著這個十進位寫下一個有理數列 { 1, 1.4, 1.41, 1.414, ... }
因為第 n 個數字之後的兩個數字之差都小於 10^-n, 所以這的確是柯西數列
詳細的中文解釋可以看林琦焜的文章
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d332/33202.pdf
因此你寫的五個數分別是
{1.1, 1.01 ,..., 1+ 10^-n, ...}
{1 , 1 ,..., 1 , ...}
{0.9, 0.99 ,..., 1- 10^-n, ...}
{0.8, 0.98 ,..., 1-2*10^-n, ...}
{0.7, 0.97 ,..., 1-3*10^-n, ...}
不難證明這五個有理數柯西數列都等價.
如有板友比較習慣極限定義, 那就想它們是 lim a_n, 其中
a_n = 1+10^-n
a_n = 1
a_n = 1- 10^-n
a_n = 1-2*10^-n
a_n = 1-3*10^-n
取極限後, 發現這五個數列也等價
2. 論述的盲點
的確, 從兩個角度來看, 這五個數都相同
那麼你錯在哪裡呢?
"這五個數相同, 不能推論導所有自然數都相同"
用現代數學的語言,
你等於是定義 A(k)_n := 1 + k*10^-n
然後你相信 k 足夠大的時候
lim A(k)_n 會是 2, 3, 4 或是更大的正整數
n
但是不幸的, 無論 k 多大, 這個極限都是 1
用你看得懂的語言的話, 就是說
1.0 .... 0
= 1.0 .... 01
= 1.0 .... 02
:
:
= 1.0 .... 09
= 1.0 .... 010
:
:
= 1.0 .... 0"後面接很大的數字"
但是這些數列表示的數都是 1, 不會上去到 2, 3 或 4
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細雪紛然，悄落無聲├╯ . . . ╰═╮╭
│衣阡陌田野以素衣裳║˙ .‧ .‥ ．
．殘雪濁淖，不復瑩潔╰╯
│我心啊！請白潔勝雪║ ． , ˙ ‧.
． . 曾經底光華已為陳蹟
║請無垢無瑕 │ 然我心啊，如磐石無轉
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╴╴╴╴╴仍燁然如昔 ψTassTW
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◆ From: 111.248.23.223
※ 編輯: TassTW 來自: 111.248.23.223 (04/06 00:08)
推 ren1072 :這篇棒! 也推林琦焜教授 04/06 00:14
→ lockheart :應該是他來學習數學語言而不是用他那套錯誤的語言 04/06 00:19
→ chronodl :每個無窮不都是一樣大的~ 詳見下篇回文 04/06 00:19
→ lockheart :來解釋, 我想他對後面那段一樣會有相同的存疑 04/06 00:19
推 thisday : 04/06 00:47
推 James1114 :林琦焜教授的向量分析不知道寫得如何 04/06 01:33
→ James1114 :想買來自修 04/06 01:33
推 turboho :雖然塔矢想要這個討論串收斂，我還是忍不住手癢… 04/06 10:57
→ TassTW :你可以改標題 xDDDDD 04/06 11:14
推 anovachen :太棒了!! 終於看懂這一連串問題的癥結在哪了>"< 04/06 23:32
推 coolcomm :推這篇 06/30 18:05