作者turboho (西卡拉)
看板Math
標題Re: [其他] 1=0.9999999999999... 嗎
時間Sat Apr 6 10:53:11 2013
(不好意思前文刪光光)
(對只想看結論的人，我們基本上定義了一個 R 的 field extension R*，而且這個 R*
中有一些"無窮小數"，然後定義 1.000...0001 = 1 + x，其中 x 是某個無窮小數。)
0. Disclaimer
先說我其實沒有很認真的看完這串討論串
但我想指出如果單就 1.000...0001 這個數是否"理性"來說，是真的有些數學方法及定義
可以處理的。
但我並非這個領域的專家(事實上我只在一個 exercise 中看過這東西)，所以如果文中內
容有誤或有人有補充，非常歡迎大家指出或給予意見。
這篇文章的主要目標是希望能拋磚引玉，並讓大家看看不同的對極限的處理方法/想法。
另外是因為我很少在BBS上po數學文，所以如果排版很糟請多包涵…
1. Introduction
我們要介紹的是一個叫作 Non-standard Calculus 的領域，通常被歸類在邏輯學中
主要的想法是取一個實數 R 的 field extension R*，然後在裡面加進一些無窮小數
這樣的好處是我現在可以把 dx, dy 等理解成這些無窮小數，而微分 dy/dx 就只是兩個
無窮小數的商
另一方面，因為我們有了這些無窮小數，就應該要有這些無窮小數的倒數，也就是"無限"
簡單的回答一開始的問題，我們的答案就是把 1.000...0001 想像成 1+(某無窮小數)
在技術細節的處理上，我們運用一些 model theory 的手法。
因為考量到版上大部份人沒有邏輯背景，我會略過大部份邏輯上的細節。
2. Ultrafilter
在開始建構 R* 之前，我們先要定義什麼是 Ultrafilter。
Definition (Ultrafilter)
一個 Ultrafilter U 是 2^N 的子集，使得：
1) 對每個 S⊆N，我們有 S∈U 或 N-S∈U
2) 如果 S, T∈U，則 S∩T∈U
3) 如果 S∈U 且 S⊆T，則 T∈U
想像上來說，這就是一個"投票機制"，就是如果我們讓所有的自然數投票，那麼這個機制
會選出哪邊"勝利"
一個 Ultrafilter U 被稱作 Non-principal 如果每個 U 的元素都是無限的。
如果把 U 想成投票機制，這個條件基本上說明了沒有"獨裁者"。
3. R*
對以下的所有討論，我們現在固定一個 non-principal ultrafilter U。
我們用 (a) 表示數列 (a_1, a_2, a_3, ...)，同樣我們使用 (b), (c), ...
Definition (R*)
我們用 R^N 表示所有實數列的集合。
我們定義 (a)~(b) 如果 {i|a_i=b_i}∈U。
定義 R* = R^N/~。這通常被稱作 Ultrapower 或 Ultraproduct of R，並被記成 R^N/U。
Theorem
如果 M1, M2, ... 是 theory T 的 model，則他們的 Ultraproduct 也是 T 的 model。
我們不嚴謹且不完整的敘述上列定理。我們也不特別解釋其中的定義。原因是我們基本上
只關心下列系理：
Corollary
R* 是一個 field。
概略的說，我們會說 (a) 有 property P 如果"大部份" a_i 有 property P。
這裡，大部份是指 {i|a_i satisfying P}∈P。
結論而言，R*上的 field 結構就是 pointwise addition 和 multiplication。
舉例來說，我們有：
(a) + (b) = (a_1+b_1, a_2+b_2, ...)
4. R embedded in R*
在這裡，我們可以把 R* 中的元素理解成某個 representative 的極限(as a sequence)
因此，利用a = (a,a,a,a,...)，我們可以自然的把 R "放到" R* 中。
以下我們不失一般性的假設 R⊆R*。
現在考慮 x = (0.1, 0.01, 0.001, ...)。
注意到因為對每個 a = (a,a,a,a,...)，{i|x_i<a_i} = {i|x_i<a} 都是 cofinite，因
此落在 U 中，所以對每個 a∈R，我們都有 x < a，也就是 x 是所謂的"無窮小數"。
類似的，我們可以証明對每個 a∈R，都有 1/x > a，所以 1/x 是"無窮大數"。
回到一開始的問題，我們便可以想像 1.000...0001 = 1+x。
5. Calculus
這個理論叫作 Non-standard Calculus 的原因是我們可以利用這個 R* 來作微積分。
如前所述，主要想法是把 dy 或 dx 想成適當的無窮小數，以此定義 dy/dx。這樣的作法
可以避免"古典"的作法中用極限定義 dy/dx。
因為在下才疏學淺，就不在這個議題上多作討論，但真的有人為些寫了個課本：
H. Jerome Keisler: Foundations of Infinitesimal Calculus
available at
http://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html
Keisler寫這本書的時候是真的希望這可以被拿來當作大一微積分的教材。但可惜的是就連
在 Keisler 自己的學校 UW-Madison，數學系也不用這個當作微積分的教材。
另外也可以參考 Wikipedia 的文章 Non-standard calculus。
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◆ From: 24.240.33.87
※ 編輯: turboho 來自: 24.240.33.87 (04/06 10:54)
※ 編輯: turboho 來自: 24.240.33.87 (04/06 10:54)
推 jacob0425 :推~~上微積分的時候有聽老師講過有這種東西...... 04/06 10:59
→ TassTW :有營養! 04/06 11:15
※ 編輯: turboho 來自: 24.240.33.87 (04/06 11:29)
推 microball :推~~ 很詳細的介紹^^ 04/06 11:44
→ turboho :其實有人用類似的作法作 Lie group 的東西 04/06 12:06
→ turboho :在 geometric group theory 中 asymptotic cone 也是 04/06 12:06
→ turboho :ultraproduct 的一種用法 04/06 12:06
推 hcsoso :好東西推 04/06 12:35
推 herstein :有意思~~~y 04/06 16:42
推 suhorng :推XD 04/06 20:26
推 keroro321 :推 04/07 12:31