改寫成這樣子應該會比較清楚
※ 引述《callingfrom (白爛豬)》之銘言：
: lim (tanx-x) / x^3
: x→0
: 這一題如果用sinθ→θ when θ small的觀念來做的話︰
: => lim ((sinx/cosx)-x) / x^3
: x→0
: => lim (sinx-xcosx) / (x^3cosx)
: x→0
到這裡 先上下除x 一樣利用你的條件
: => lim (x-xcosx) / (x^3cosx) [sinθ→θ when θ small]
: x→0
所以這式會變成
sinx
------ - cosx
x sinθ
=> lim --------------------- 然後利用 [ lim ----- = 1 ]
x→0 x^2cosx x→0 θ
: => lim (1-cosx) / (x^2cosx)
: x→0
然後再到這式 錯誤就很明顯了
有二個部份很奇怪
1.雖然好像代換，但其實還是 0/0 的形式，有換等於沒換
2.取極限的部份不對，因為沒有定理能單一的決定分子裡的極限然後其他都不管
(最接近的是 lim(f+g)=lim(f)+lim(g) 但這裡也不是這個樣子)
至於答案為什麼會有那樣的差距
則如同前面版友回文的那樣 :p
: => lim [(1-cosx)(1+cosx)] / [(x^2cosx)(1+cosx))
: x→0
: => lim (sinx)^2 / [(x^2cosx)(1+cosx)]
: x→0
: => lim x^2 / [(x^2cosx)(1+cosx)] [sinθ→θ when θ small]
: x→0
: => lim 1 / [(cosx)(1+cosx)] = 1/2
: x→0
: 但用 L'Hospital Rule來作這一題答案是 1/3 (正解)。
: 不知道上面哪個步驟小弟的觀念代錯了。
希望不會答非所問@@
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