[中學] 3^11除以3^2+3=1於多少？

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各位版友好。

這題我知道有兩個算法。




第一個是：

3^2+3+1=13

3^n（n從1到11）除13的餘數會有循環。




第二的算法是我有問題的：

定義2多項式：x^11和x^2+x+1

然後令x^2+x+1=0, and then (x+1)(x^2+x+1)=x^3-1=0, -> x^3=1

-> x^11=x^2, ->將3帶到x^2裡，得3^2=9。

答案是9。

這個解法我有問題，為什麼可以去令x^2+x+1=0呢？

請問有版友可以幫法幫給一個嚴格推理的計算過程嗎？

感謝！！








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◆ From: 123.194.124.191
推 LPH66       :後一法其實是在做多項式除法
→ LPH66       :做多項式除法時令除式為 0 代入被除式這招還滿常見的
→ ad0960      :您好，我的問題是為什麼可以令為0？
→ LPH66       :不過實際上多項式除法的餘式應是 -x-1 就是
→ LPH66       :f(x) = g(x)q(x) + r(x) 代入使 g(x) = 0 的 x 之後
→ ad0960      :因式定理中，將一次因式令為0，那是方便的說法。
→ LPH66       :就會剩下 r(x)  這是之所以令除式為 0 的理由
※ 編輯: ad0960          來自: 123.194.124.191      (04/08 10:58)
→ ad0960      :不好意思，不是因式定理，嚴格上來說是餘式定理。
→ ad0960      :我剛剛google確認了一下，餘式定理是用在一次因式。
→ ad0960      :在餘式定理中，對於ax+b，為了要找出-b/a，令ax+b=0
→ ad0960      :是為了方便的作法，但我這題是二次以上，這令為0的
→ ad0960      :動作，我找不到理由。
※ 編輯: ad0960          來自: 123.194.124.191      (04/08 11:21)
推 bbenson     :令x^2+x+1=0 可以看成mod自己 = 0
→ sneak       : 不好意思，不是因式定理 https://muxiv.com
→ sneak       : 是為了方便的作法，但我 https://daxiv.com
→ sneak       : 不過實際上多項式除法的 https://muxiv.com
→ sneak       : 我剛剛google確認 https://muxiv.com
→ muxiv       : 不好意思，不是因式定理 https://muxiv.com