推 ericakk :E大 謝謝你喔:) 04/09 18:38
※ 引述《ericakk (ericakk)》之銘言：
: 一動點P由正四面體ABCD之頂點A出發，沿著四面體的稜移動。
: 由一個頂點經過1秒後，移到另一個頂點之機率均為1/3，
: 則6秒後，P點停在A點之機率為多少？
: 答案：61/243
: 參考解答 [ 6 (1/3)^3 ]^2 + { 3 [ 7 (1/3)^3 ]^2 } = 61/243
: 請問這題該如何討論？或是用上述解答的式子講給我聽也可以，謝謝喔^^
因為停留在原來點的機率為0，移到另一個頂點之機率均為1/3，
所以可使用考慮所有可能路線之方法來考慮。
令 a_n,b_n,c_n,d_n 分別表示 n 秒後，停在 A,B,C,D 之可能路線。
我們可以構造一個遞迴關係結構。
a_{n+1}=b_n+c_n+d_n
b_{n+1}=a_n+c_n+d_n
c_{n+1}=a_n+b_n+d_n
d_{n+1}=a_n+b_n+c_n
並且跟據對稱性， b_n=c_n=d_n 。
（更精確地說，任何一條停在B之路線，將該路線中的B,C全互換可得一條停在C之路線；
因此，停在B之路線的集合 與 停在C之路線的集合，
有一個一一對應關係，所以b_n=c_n。）
因此該遞迴關係可簡化為：
a_{n+1}=3b_n
b_{n+1}=a_n+2b_n
配上 a_{n+1}+b_{n+1}=3^{n+1} 這一恆等式，易解此遞迴關係。
或者用線代對角化的手法，也可以放大絕，清鬆解出。
（跟據題設，初始條件為： a_1=0,b_1=c_1=d_1=1）
但你只是要求六秒後的答案的話，直接代一代，一下就出來了。
或者在代幾個，觀察後，可以猜到a_n,b_n,c_n,d_n一般式的樣子，然後驗證一下收工。
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