推 thinkabout :感謝解答!!! 04/11 17:43
※ 引述《thinkabout ( )》之銘言：
: 大家好，想請問大家
: 已知 (2^(1/3)-1)^(1/3) = a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3)
: 若a, b, c為實數
: 則a + b + c為何？
: 已經想了兩天還沒想出來
: 上PTT來請教各位大師
: 謝謝
話說題目似乎有誤，如果要求abc是實數的話 a=0 b=0 c=2^(1/3)-1 就秒殺...
好像就會有無線多組解!!
應該要改成abc是有理數
動機:看到三次方根就想有理化，就跟做平方根的有理化很像
為了方便起見，三次根號我接下來都用√表示就好 √x = x^(1/3)
立方差
(√2-1)(√4 + √2 +1) 2-1 分母已經處理得很漂亮了
√2-1 = --------------------- = --------------- 接下來有點tricky
(√4 + √2 +1) (√4 + √2 +1) 因為之後要開三次方根
所以想辦法湊出XX的三次方
分子分母x3
3 3 3
= ---------------- = --------------- = -------------
3(√4 + √2 +1) 2+3√4+3√2+1 (√2+1)^3
最後回來算
√3 再有理化一次 √3(√4-√2+1) √12-√6+√3
√(√2-1) = ------ = = ------------------- = -------------
√2+1 (立方和) (√2+1)(√4-√2+1) 3
= √(4/9) + √(-2/9) + √(1/9)
∴ a+b+c = 4/9-2/9+1/9 = 1/3
至於有理數的話
這組解唯不唯一 我就不知道了QQ
這連結裡的第222頁的公式寫錯了!!
是√a^2 -√a +1 不是√a^2 -√a -1
(我發現了Ramanujan錯誤! 怎麼可能! 是那本書(文章)寫錯了啦XD)
該文章的PDF版本 http://goo.gl/QIZ8N
我另外找了Ramanujan的作法
http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/radicals.pdf
話說這兩個PDF有共同的作者!
下面這篇文章就是寫√a^2 -√a +1 沒寫錯
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Weierstrass在當中學老師時，有一天他的班級沒有人來上課，
校長到他住的地方才發現他家裡的門廉還沒打開，進到房子裡後發現他還點
著燈在書桌上思考，投入的程度連已經過了一天還不自覺。
校長叫他回去上課，他回說：
"我現在在想的問題是科學史上一個很重要的問題，所以不能被打斷"。
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