Re: [微積] 部分積分&變數變換

[Heaviside (Oliver)]

※ 引述《whereian (飛)》之銘言：
: ※ 引述《stupidbehapp (泳衣)》之銘言：
: :  http://miupix.cc/pm-WET2ER
: :  http://miupix.cc/pm-IBGFTJ
: : 各位大大明天就要考試了
: : 平常太混這裡不太懂
: : 請問這兩題該怎算 還有正解是什麼呢
:    呵呵，我微積分的程度也算是初學者，一起來練習一下吧
我也是新手 稍微切磋一下囉
:     好像分部積分的公式是這樣吧：∫udv = uv - ∫vdu
:     那就設 u=ln(3x) ， v=x    則 du=dx/x ，dv=dx
大大的分部積分公式沒有寫錯
但一般是先令 u 和dv  才會衍生出du和v

以本題為例    是令 u=ln(3x)  dv=dx
                          ↘
               則 du= 1/x →  v=x    ※口訣：斜的乘減掉水平乘

               就會得到您下列所述的式子了
               ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
:     所以 ∫ln(3x)dx = x*ln(3x) - ∫dx +c1= x*ln(3x) - x+c

:                    exp(x)dx               exp(-x)dx
:     第二題  ∫------------------  －  -------------------
:                exp(x) + exp(-x)         exp(x) + exp(-x)
:                  exp(2x)dx            exp(-2x)dx
:           = ∫----------------  －  ---------------
:                 exp(2x) + 1           exp(-2x) + 1
:           = (1/2)*ln﹝exp(2x) + 1﹞ － (-1/2)*ln﹝exp(-2x) + 1﹞

  基本上第二題這樣做OK 但稍嫌複雜

另解：

      exp(x)-exp(-x)
 題=∫─────── dx
      exp(x)+exp(-x)

觀察法得  令u=exp(x)+exp(-x)   du=[exp(x)-exp(-x)]dx

              1
本題可化為∫─── du =lnu+c =ln[exp(x)+exp(-x)] +c 為解
              u

繼續整理 可得大大第二題的表示法


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◆ From: 111.243.100.66
推 whereian    :感謝指正 ^^
→ Heaviside   :∫ln(x)dx=xlnx-x+c 算是積分表內常見的 背一背好了
推 endlesschaos:這年頭流行裝新手嗎......
推 whereian    :我對微積分真的不熟，只有看書簡單自修過，認識很淺
推 whereian    :簡單的題目稍微懂一下而已，大一生懂得都比我多吧...
→ Heaviside   :雖然我有上課 但老師講的我也聽不懂zzzzz.......
→ Heaviside   :我是看了一本叫做「微積分之屠龍寶刀」 才開始入門的
→ kakashi45232:分母微分=分子,可以記積出來為ln(分母)+c
→ kakashi45232:話說第一題也可以看成tanhx積分吧