作者pigheadthree (爬山)
看板Math
標題Re: [微積] 這題能用積化和差公式嗎？
時間Sat Apr 13 09:14:15 2013
※ 引述《Heaviside (Oliver)》之銘言：
: ※ 引述《pigheadthree (爬山)》之銘言：
: : 題目：y=cos(x)*sin(x^2+1)
: : y作微分，答案為：8x*cos(x)*cos(x^2+1)-4sin(x)*sin(x^2+1)
: : 請問版上前輩，此題可以作【積化和差再微分】嗎？
: : 小弟積化和差再微分的答案卻跟解答不一樣？
: : 若可以，為什麼跟答案不一樣？
: : 若不可以，此題有甚麼原因為什麼不可以先用【積化和差】呢？
: y=cos(x)*sin(x^2+1)
不好意思，題目是：y=4*cos(x)*sin(x^2+1)
: 直接微分法:
: y' =-sin(x)*sin(x^2+1)+cos(x)*cos(x^2+1)*(2x)---(1)
: 積化和差法
: y=cos(x)*sin(x^2+1)=0.5[sin(x^2+x+1)+sin(x^2-x+1)]
: y'=0.5[cos(x^2+x+1)*(2x+1)+cos(x^2-x+1)*(2x-1)]
: 令u=x^2+1, v=x
: y'=0.5[cos(u+v)*(2v+1)+cos(u-v)(2v-1)]
: =0.5{2v[cos(u+v)+cos(u-v)]+[cos(u+v)-cos(u-v)]}
: =0.5{2v[2cos(u)cos(v)]-2[sin(u)sin(v)]} u、v代回得
: =2x*cos(x^2+1)*cos(x)-sin(x^2+1)sin(x) ------(2)
: 比較(1)式和(2)式
: 可得兩種作法 可得相同解
小弟的計算方式：
【先微分再積化和差】
y=4*cos(x)*sin(x^2+1)
y'=4*(-sin(x))*sin(x^2+1)+(2x)*cos(x^2+1)*4*cos(x)
= -4*sin(x)*sin(x^2+1)+8x*cos(x)*cos(x^2+1)
= 8x*cos(x)*cos(x^2+1)-4*sin(x)*sin(x^2+1)
積化合差
8x*cos(x)*cos(x^2+1)-4*sin(x)*sin(x^2+1)
=4x*[cos(x^2+x+1)+cos(-x^2+x-1)]-2*[cos(x^2+x+1)-cos(-x^2+x-1)]
=4x*cos(x^2+x+1)+4x*cos(-x^2+x-1)-2*cos(x^2+x+1)+2*cos(-x^2+x-1)
=(4x-2)*cos(x^2+x+1)+(4x+2)*(-x^2+x+1)
------------------------------------------------------------------------------
【先積化和差再微分】
y=4*cos(x)*sin(x^2+1)
積化和差
=2*[sin(x^2+x+1)-sin(-x^2+x-1)]
=2*sin(x^2+x+1)-2*sin(-x^2+x-1)
y'=2*(2x+1)*cos(x^2+x+1)-2*(-2x+1)*cos(-x^2+x-1)
=(4x+2)*cos(x^2+x+1)+(4x-2)*cos(-x^2+x-1)
------------------------------------------------------------------------------
題目：4*cos(x)*sin(x^2+1)
【先微分在積化和差】
答案：(4x-2)*cos(x^2+x+1)+(4x+2)*cos(-x^2+x+1)
【先積化和差再微分】
答案：(4x+2)*cos(x^2+x+1)+(4x-2)*cos(-x^2+x-1)
為什麼答案，三角函數前的(x函數係數)會相反呢？ 不懂？
麻煩版上前輩們不吝嗇指導與告知！
小弟是哪裡的觀念錯誤了？還是有甚麼原理不懂的！謝謝！
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◆ From: 1.165.176.232
※ 編輯: pigheadthree 來自: 1.165.176.232 (04/13 09:15)
→ Heaviside :那個4 不過只是個常數而已 不影響整體作法啦 04/13 09:33
→ Heaviside :我有把我的解法乘上常數4了 解答還是一樣 04/13 09:41
→ Heaviside :還有 你的第一部份 積化和差公式弄錯了 04/13 09:43
→ Heaviside :第二行應修正為=.....+2[[cos(x^2+x+1)-cos(-x^2.... 04/13 09:45
【先微分再積化和差】
y=4*cos(x)*sin(x^2+1)
y'=4*(-sin(x))*sin(x^2+1)+(2x)*cos(x^2+1)*4*cos(x)
= -4*sin(x)*sin(x^2+1)+8x*cos(x)*cos(x^2+1)
= 8x*cos(x)*cos(x^2+1)-4*sin(x)*sin(x^2+1)
積化合差
8x*cos(x)*cos(x^2+1)-4*sin(x)*sin(x^2+1)
=4x*[cos(x^2+x+1)+cos(-x^2+x-1)]-2*[cos(x^2+x+1)-cos(-x^2+x-1)]
=4x*cos(x^2+x+1)+4x*cos(-x^2+x-1)-2*cos(x^2+x+1)+2*cos(-x^2+x-1)
=(4x-2)*cos(x^2+x+1)+(4x+2)*(-x^2+x+1)
------------------------------------------------------------------------------
不好意思，第一部分的【積化和差】公式記錯了XD
sinAsinB = (1/2)*[cos(A-B)-cos(A+B)]
修正：
【先微分再積化和差】
y=4*cos(x)*sin(x^2+1)
y'=4*(-sin(x))*sin(x^2+1)+(2x)*cos(x^2+1)*4*cos(x)
= -4*sin(x)*sin(x^2+1)+8x*cos(x)*cos(x^2+1)
= 8x*cos(x)*cos(x^2+1)-4*sin(x)*sin(x^2+1)
積化合差
8x*cos(x)*cos(x^2+1)-4*sin(x)*sin(x^2+1)
=4x*[cos(x^2+x+1)+cos(-x^2+x-1)]-2*[cos(-x^2+x-1)-cos(x^2+x+1)]
=4x*cos(x^2+x+1)+4x*cos(-x^2+x-1)-2*cos(-x^2+x-1)+2*cos(x^2+x+1)
=(4x+2)*cos(x^2+x+1)+(4x-2)*(-x^2+x+1)
所以得到：
【先微分在積化和差】
答案：(4x+2)*cos(x^2+x+1)+(4x-2)*cos(-x^2+x-1)
【先積化和差再微分】
答案：(4x+2)*cos(x^2+x+1)+(4x-2)*cos(-x^2+x-1)
兩者答案是相同的！
謝謝前輩的指導，謝謝！
※ 編輯: pigheadthree 來自: 114.46.135.246 (05/01 06:00)