Re: [中學] 數列級數一題?

[doa2 (邁向名師之路)]

※ 引述《hongo1120 (hongo1120)》之銘言：
: 這題我想蠻久的
: 但還沒想到解法
: 以下是98全國第二次學測的第十題(多選)
: 有一數列<1/根號n>
: 設其之前n像總和為Sn
: 即Sn=1+1/根號2+1/根號3+...+1/根號n
: 下列何者正確?
: A) 若有一正整數n使得Sn < 根號n+a
:    則Sn+1 < 根號n+1 +a
: B) 若有一正整數n使得Sn < 2 根號n + B
:    則Sn+1 < 2 根號n+1 +B
: C) 若有一正整數n使得Sn > 2 根號n +C
:    則Sn+1 > 2根號n+1 +C
: D) 若有一正整數n使得Sn > 2根號n+1 +D
:    則Sn+1 > 2 根號n+2 +D
: E) 對於每一個大於1的正整數
:    則2 根號n+1 -2 < Sn < 2根號n -1必成立
: 其中ABCD均為一常數
: 答案是BDE
: 不好意思
: 版面有點亂
: 請見諒
: 煩請各位高手為我解惑了
: 謝謝
之前解過  以下複製貼上而已
: 有一數列<1/√n>，設其前n項之總和為Sn，則 Sn=1+(1/√2)+...+(1/√n)，
: 則下列敘述何者正確？
: (1)若有一正數 n ，使 Sn < √n +α，則S(n+1) < √(n+1) +α
: (2)若有一正數 n ，使 Sn < 2√n +β，則S(n+1) < 2√(n+1) +β
: (3)若有一正數 n ，使 Sn > 2√n +γ，則S(n+1) > 2√(n+1) +γ
: (4)若有一正數 n ，使 Sn > 2√(n+1) +δ，則S(n+1) > 2√(n+2) +δ
: (5)對每一個大於1的正整數 n，則2√(n+1) -2 < Sn < 2√n -1 必成立
:    (以上α.β.γ.δ均為一常數)
: 因為根號的關係導致題目有點亂，不曉得這樣打大家看的懂嗎？
: √() --->  代表括號裡的數整個開根號
: 而答案是(2)、(4)、(5)
: 還請各位高手指點一下，非常感激！：）
利用2(√(n+1)-√n) < 1/√n < 2[√n-√(n-1)]

連加可得2√(n+1)-2 < Sn < 2√n -1  (即第五個選項)

(1)S(n+1)=Sn + 1/√(n+1) < Sn + 2[√(n+1)-√n] < √n+α+2[√(n+1)-√n]

                                               = 2√(n+1)-√n+α  故不一定成立

(2)S(n+1)=Sn + 1/√(n+1) < Sn + 2[√(n+1)-√n]

                         < 2√n+β+2[√(n+1)-√n] = 2√(n+1) +β  成立

(3),(4)類似

第(5)的選項記得第一個要用 2(√2-1)<1/√1 <= 1

其餘列出來加總即可

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 59.126.254.230
推 holgaga     :最後的選項應該不是代n=1吧  題目是說大於1的正整數
→ holgaga     :我是從n=2開始  且代n=1時 會得到Sn=2√n -1
→ doa2        :我意思是那個不等式  對n=1時不要用
我意思是
2(√2-√1) < 1/√1 <= 1

2(√3-√2) < 1/√2 < 2[√2-√1]

2(√4-√3) < 1/√3 < 2[√3-√2]

              ...

2(√(n+1)-√n) < 1/√n < 2[√n-√(n-1)]
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加總就可得到

2(√(n+1)-1)<Sn<2√n-1
※ 編輯: doa2            來自: 59.126.254.230       (04/15 00:20)
推 holgaga     :我誤會了XD   沒仔細看以為原PO也是用數學歸納法@@
→ hongo1120   :感謝您