Re: [中學] 今天建中數資考題

[kueilinyeh (葉Sir~)]

正巧翻到這年考題

第五題剛好想到一個很快的方法

另外  有沒大恩大德可以解一下填充和證明的第四題

※ 引述《qeoip123 (GnRBSOZ)》之銘言：
: 試題時間共80分鐘
: 填充題每題七分
: 1. 一個正100邊形，每個頂點上有一正數，每正數為相鄰兩數之算術平均數或
:    幾何平均數。已知其中一頂點上為30，問與之相鄰的數？
: 2. 求一邊長為√29、√37、√52之三角形的面積
: 3. 已知 34     a     47
:        ---- > --- > --- 問b之最小值
:         109    b    151
: 4. 有一四面體，其三雙稜線為5.6.7，求四面體體積
: 5. 解方程式√(x-1/x) + √(1-1/x) = x

令x=t^2  1/x=1/(t^2)

化簡原式√(t^2-1/t^2)+√(1-1/t^2)=t^2

此時看成有一個三角形  三邊長為1, t, t^2  且長邊t^2的高為1/t

(由上述式子  以商高定理的方式  底邊(t^2)為兩個線段的長度和)

又因為t^2*(1/t)/2 = 1*t*1/2 (三角形面積相同)

故可知三邊為1, t, t^2為一個直角三角形

所以根據商高定理 1+t^2=(t^2)^2

由此解得x

(提供一個代數轉換幾何的方法)


: 6. 有一由 1,2,3,4,5 組成的數列，若要組成每一項皆比前面所有項大，或皆比
:    前面所有項小，問共有幾組
: 7. 已知三角形的三邊 a、b、c (a、b、c為正整數)為等比數列，且 a < b < c
:    ，若 a=25，問(b,c)數對=？
: 計算證明題
: 1. 證明√(a^2 + 1/b^2 + a^2/(ab+1)^2) = | a + 1/b - a/(ab+1) |  (10分)
: 2. 計算√(1^2 + 2010^2 + 2010^2/2011^2) - 1/2011  (4分)
: 3. 已知a、b、c、d屬於{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且a+b=cd，試求(a,b,c,d)共有幾
:    解？  (17分)
: 4. 有一圓心為O，此圓內有接一四邊形ABCD，AC線段之中點I，為三角形ABD之內心。
:    O、I不共點
:    求證：(1) CB線段 = CI線段 = CD線段
:          (2) 線段OI為三角形BID之外接圓的切線
:          (3) AB線段 + AD線段 - BD線段 = 2AE線段 (E為I至AD邊的垂線)
:          (4) AB線段 + AD線段 = 2BD線段
:                                          (皆各5分)
: 今天去考的，題目順序可能有錯。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.4.191
※ 編輯: kueilinyeh      來自: 140.112.4.191        (04/16 15:53)
→ Vulpix      :那一題要用到的是內心性質還有對同弧的圓周角相等。
→ Vulpix      :角IBC=角DBC+0.5角ABD=角DAC+0.5角ABD
→ Vulpix      :角CIB=角IAB+角IBA
→ Vulpix      :(1)可以從上面這些Hint得到
→ Vulpix      :(2)則是(1)的推論，因為OI垂直於CI(I是弦AC中點)
→ Vulpix      :(3)是內心的標準性質，E是內切圓的切點。
→ Vulpix      :(4)由(3)加上BD=2AE可以得到
→ Vulpix      :最後的BD=2AE建議將C與BD中點連線，再去找合適的
→ Vulpix      :全等三角形做。