推 alfadick :已列印放進書架!! 以後一定會碰到這類的思考流程的 04/18 10:52
→ alfadick :(目前還沒念到abstract algebra >< 04/18 10:54
→ Vulpix :給樓上，自然數建構詳情可以看本板第一篇XD 04/18 13:53
分享一個非慣用但是正確的有限集合符號使用，
因為其實沒什麼用，沒耐心可以直接跳過。
在數學語言中常會用到指標集(index set)，
對一個集合 S 的每個元素用另一個集合 I (I 代表 'I'ndex)標示，
然後習慣用 i 代表 I 的元素，如此一來要稱呼 S 的元素就用：
si （或用 TeX 的語法寫：s_i，見 http://tinyurl.com/c2kxael)
如果我們要用標示一個有限集合的話，通常會寫成如下的句子：
"Let S be a set indexed by a finite set I" (1)
如果要指明說有限集合的大小，(1) 要講成如:
"... by a finite set I with n many elements." (2)
有學過抽象代數，可能會想到用有限群 Z_n 所以 (2) 就是:
"... by Z_n for some natural number n."
但其實，在公設化的集合論下，每個自然數 n 就是一個有 n 個元素的集合：
{0, .., n - 1}
其中 0 就是空集合。所以很懶惰的話，(2) 會寫成：
"... by some number n."
或是
"... by n \in N"
如此以來，我們也不用寫 "... a_i for each 0 <= i < n ..." 之類的，
直接寫成 "for each i \in n" （對所有 i 在 n 裡頭）就可以表達同樣的意思，
而且沒有不嚴謹的問題。
最後，真的懶到不行的話，我們可以注意到這樣的寫法其實是
一個從指標集 I 到 S 的映成函數 s:I -> S，所以其實只要寫
"Let s be a surjection from I to S."
或是有限集合就寫成 f: n -> S for some n \in N 之類的。
無用之處就在於，這是正確但是容易混淆，畢竟不是每個人同意
將自然數 n 定義成包含 n 個元素的集合。
用函數的寫法更糟糕，以上的寫法沒辦法暗示我們要操作的主要對象
是 S 內的元素，反而語句暗示函數變成主要對象。
如果是要寫來讓人看懂的話，還是少用需要另外解釋的符號，才方便溝通。
這當作是做筆記的時候一些比較方便的寫法。
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