→ willydp :我比較好奇的是ramification locus這樣有剛性的概念 04/18 07:21
→ willydp :能有拓樸式的定義嗎? 04/18 07:21
推 WINDHEAD :如果有學過代數數論的話應該會比較好懂(逃~) 04/18 07:56
→ HmmHmm :ramification index 是 curve (F=0)和偏微分 F_y=0 04/18 08:40
→ HmmHmm :的交點..假設 C->P^1 是 (x,y,z)->(x,z) 04/18 08:41
→ HmmHmm :說錯, 的intersection multiplicity 這是拓樸的 04/18 08:42
→ HmmHmm :但是 兩條 curves 當然可以扭來扭去... 04/18 08:44
推 herstein :純拓樸的方法指的是?其實複變的方法應該還蠻普遍的? 04/18 08:48
推 herstein :印象中~~Riemann Hurwitz formula用複變比較好證 04/18 08:52
推 herstein :如果你要不用H^0(C,K)去定義"光滑"的代數曲線的genus 04/18 08:57
→ herstein :就回到最原本定義genus的方法(triangulation) 04/18 08:57
→ herstein :那麼證明就會寫的很長 04/18 08:58
→ herstein :而關於Riemann Hurwitz-formula關鍵應該還是在 04/18 09:01
→ herstein :甚麼叫做holomorphic map的degree 04/18 09:01
→ herstein :光滑流形map的degree就有幾種不同觀點且等價的看法 04/18 09:02
→ herstein :所以如果你開心可以用differential form去算 04/18 09:03
→ herstein :既然locally map長的相z->z^n..所以pull back map on 04/18 09:04
→ herstein :differential form也很好算 04/18 09:04
→ herstein :所以還是單純看你是怎麼定義genus...degree這種東西 04/18 09:05
→ HmmHmm :genus 是用拓樸定的, 就說curve 畫成拓樸曲面一定 04/18 10:12
→ HmmHmm :會是某個 genus g 的曲面...所以還是要回到三角化 04/18 10:12
→ HmmHmm :degree 是用curve 交 fiber 的解重數定的, 算代數 04/18 10:14
→ HmmHmm :關於流形我們什麼都沒講...除了定義 04/18 10:15
→ HmmHmm :因為這課是代數幾何啊!!! 04/18 10:15
→ HmmHmm :pull back on differential form 不錯... 04/18 10:16
推 herstein :所以你的genus degree formula是給smooth curve的 04/18 11:19
→ herstein :有singularities公式要多點東西唷XD 04/18 11:19
→ herstein :那時候你的genus定義就更麻煩一點 04/18 11:19
→ herstein :如果純粹用代數去定義genus..證明就比較沒那麼麻煩 04/18 11:20
→ herstein :應該說~~就可以避免使用triangulation去講 04/18 11:22
推 WINDHEAD :我覺得要繞過複變蠻不容易的耶,因為這不就表示我可以 04/18 11:30
→ WINDHEAD :用純拓樸的語言來重寫複變函數論的基礎嘛XD 04/18 11:31
→ WINDHEAD :複數平面也是代數曲線呀XD 04/18 11:32
→ HmmHmm :我的degree-genus formula 的確是給 smooth curve 的 04/18 11:32
→ HmmHmm :不一定全部重寫啊, 這只是一個 special case 04/18 11:33
→ HmmHmm :或者是說, 我從無到有的教代數曲線好累, 04/18 11:34
→ HmmHmm :學生"只懂" varieties, 連sheaf 和 cohomology 都沒 04/18 11:34
→ HmmHmm :這樣到底要怎麼教比較好XD 04/18 11:35
推 herstein :定義Kahler differential不需要sheaf, cohomology 04/18 11:39
→ herstein :反正你是取global section H^0(C,K) 04/18 11:39
→ herstein :所以你就是取module of kahler differential of k(C) 04/18 11:40
→ herstein :k(C)指的是C的function field。 04/18 11:40
→ herstein :接著你就是利用local ring是DVR應該就可以去得到 04/18 11:41
推 WINDHEAD :Kahler diff 對他們來說可能更難懂@@", 如果已經知道 04/18 11:41
→ herstein :上面那些東西f*(dz)=...所以可以用來算degree 04/18 11:41
→ WINDHEAD :微分工具的話,可能用 Gauss-Bonnet 來詮釋就好了 04/18 11:41
→ herstein :還好啦Kahler differential可以有代數的定義XDDD 04/18 11:42
→ herstein :既然學過module了你就用module generated by "dz" 04/18 11:44
→ herstein :mod some relation去定義module of Kahler diff over 04/18 11:44
→ herstein :function field. 所以他就是一個module而已 04/18 11:44
→ herstein :只是你把複變的語言全部換成交換代數而已 04/18 11:45
推 WINDHEAD :Hmm姐有沒有考慮用全古典的方式來講代數曲線 @@" 04/18 11:46
→ herstein :而且定義出來的module都是一些vector space over *** 04/18 11:47
→ HmmHmm :過一陣子應該會講 Kahler differential 04/18 11:47
→ HmmHmm :剛開始只是覺得應該把各種不同的看法都講一講玩一玩 04/18 11:48
→ HmmHmm :畢竟講 h^0(K)=g 不講拓樸實在空虛 04/18 11:49
→ HmmHmm :而且我也講得蠻開心的, 只是不曉得學生受不受得了 04/18 11:50
→ HmmHmm :只是感覺他們的 math maturity 還沒到欣賞這些東西 04/18 11:51
→ HmmHmm :全古典是什麼啊? 04/18 11:52
推 WINDHEAD :比方說要講 27 lines on cubic surface, 就取一個 04/18 11:53
推 herstein :我還以為Winhead講的是講黎曼面哩XD 04/18 11:55
→ WINDHEAD :參數族把它變成退化的曲面,這樣可以"解釋"為什麼27條 04/18 11:55
→ WINDHEAD :阿 我的古典指的是是玩弄多項式....XD 04/18 11:56
推 WINDHEAD :學生應該會覺得很好玩吧XD? 可是大概也會講得很累 04/18 11:59
推 herstein :我覺得講黎曼面還不錯...缺點就是需要複變而已 04/18 12:02
→ herstein :而且Hodge 定理有簡單的方法講，這種方法需要微分 04/18 12:03
→ herstein :幾何... 04/18 12:03
→ HmmHmm :我講了把 degree d curves 退化成 d 條直線 04/18 12:11
→ HmmHmm :然後perturb 一下說得到 genus g 的 surface 04/18 12:12
→ HmmHmm :只是要說好 perturbing 一點點不影響 topology會麻煩 04/18 12:13
→ HmmHmm :其實我一直覺得 27 lines on cubic surface 沒什麼用 04/18 12:14
→ WINDHEAD :我也覺得那個沒什麼用 just for fun 04/18 12:15
→ WINDHEAD :哎但是我不是做代數幾何...所以我的意見僅供參考啦XD 04/18 12:16