推 citynew :強! 04/22 16:21
推 ivorycoast :感謝..我也有求出遞迴關係，可是加到a6和b6就放棄了 04/22 17:09
→ ivorycoast :想不到竟然是有規律的.... 04/22 17:09
推 pleasure19 :太厲害!! 04/22 20:28
推 t0444564 :太誇張XDD 04/22 22:03
※ 引述《ivorycoast ()》之銘言：
: 設a>0，b>0，若a+b(sqrt2)=(1+sqrt2)^100，
: 求ab乘積的個位數字。
: 看來好像不太難..可是做到一半就卡了....請教高手!!
n
假設a(n)+b(n)√2=(1+√2)
n+1 n
(1+√2) =(1+√2) *(1+√2)
a(n+1)+b(n+1)√2=[a(n)+b(n)√2]*(1+√2)
=[a(n)+2b(n)]+[a(n)+b(n)]√2
將上式換成矩陣形式
[a(n+1)] = [1 2][a(n)] 且a(1)=1,b(1)=1
[b(n+1)] [1 1][b(n)]
[a(2)] = [1 2][a(1)] = [3]
[b(2)] [1 1][b(1)] [2]
[a(3)] = [1 2][a(2)] = [7]
[b(3)] [1 1][b(2)] [5]
[a(4)] = [1 2][a(3)] = [17] = [7]
[b(4)] [1 1][b(3)] [12] [2]
接下來只算每項的個位數
a(1)=1 a(2)=3 a(3)=7 a(4)=7 a(5)=1 a(6)=9 a(7)=9 a(8)=7
b(1)=1 b(2)=2 b(3)=5 b(4)=2 b(5)=9 b(6)=0 b(7)=9 b(8)=8
a(9)=3 a(10)=3 a(11)=9 a(12)=1 a(13)=1 和a(1)=1相同，開始循環了
b(9)=5 b(10)=8 b(11)=1 b(12)=0 b(13)=1 b(1)=1
循環節為12，故a(100)=a(12*8+4)=a(4)=7
b(100)=b(12*8+4)=b(4)=2
100
所以a+b√2=(1+√2) 的a*b個位數字為7*2 mod 10=4
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◆ From: 1.164.82.251
※ 編輯: bugmens 來自: 1.164.82.251 (04/22 15:41)