推 suhorng :直接把值代進去就是連續 04/24 19:52
→ suhorng :後面說「x是2」那個就是在說連續 所以直接代值 04/24 19:53
※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.21.144 (04/24 19:56)
※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.21.144 (04/24 19:58)
→ mather :了解極限的概念才是老師要給學生最重要的東西，而不 04/24 21:10
→ mather :是在那邊賣弄epsilon-delta。就例如原PO現在這個題目 04/24 21:11
→ mather :，只要知道極限的概念就能輕鬆解決，也不會產生誤解 04/24 21:14
→ alfadick :你可能有點誤會我的意思 0.0 04/24 21:29
推 yuyumagic424:我將我文中某一段標成紅色了 請再看一下 04/24 21:36
→ Vulpix :我還是不懂到底消去x-2有哪兒不對了... 04/24 21:38
→ Vulpix :極限的e-d定義也是要0<|x-2|<d啊，此時x當然不是2 04/24 21:39
→ Vulpix :而是在2附近"遊蕩"的實數，最遠不能跑到d。這樣。 04/24 21:40
→ Vulpix :所以說"x很接近2但不是2"其實只是e-d定義的直觀描述 04/24 21:41
推 herstein :可以消掉沒錯。因為極限只需要在x=2附近有定義即可 04/24 21:56
→ herstein :在x=2那點並不要求要有定義。 04/24 21:56
→ herstein :照定義再考慮極限時0<|x-2|<d,.....所以x-2不為零 04/24 21:57
→ herstein :算極限時(x-2)(x-1)/(x-2)可以同時消掉x-2 04/24 21:59
是呀，就結果上、列式上
(x-2)(x-1)
lim ---------- = lim (x-1) = 2-1 = 1 沒有錯。
x->2 (x-2)
http://ppt.cc/8M6O Ron Larson 在這邊用的解說很好，「像幹除法那樣除掉x-2」
只是如果不用挖洞理論，而用因為x在2附近遊蕩, x根本不會是2來解釋：
(x-2)(x-1) 1
因為x≠2，so lim ----------- = lim ---- (x-1) = lim(x-1) = 1
(x-2) 1
↑↑↑消掉x-2
x^2-x-2
照此脈絡解釋： lim --------------， 其中的 x^2-x-2 =0， x^2+3x-10 = 0
x->2 x^+3x-10
這裡也是 0/0，剛才也是看到0/0，
一下說剛才的0/0兩者消掉可得1，
一下又說這次的0/0兩者不能消掉，不會得1。對學生來講實在很弔詭不是嗎？
難到 lim (x-2)=0 的 等於0 和 lim (x^2-x-2) 的等於0，形式、效力、威力不一樣?
學生一定會覺得很弔詭吧？
我的立場：
1. 挖洞理論解釋(本質也差不多是ε-δ證出來的那Theorem)，就很嚴謹扎實。
2. 老師不必要求學生會證ε-δ，但至少要講得出邏輯脈絡來，
就好像代數基本定理，我們高中時不必會證，
但要講得出 「x^3-2x^2-199x+6=0 必有一實根」的邏輯根據出來。
3. 在解lim(x->9) x^2 的時候，可以想成 x趨近於九時的拋物線y=x^2，也趨近於81。
這點很直觀，教學上理解上不妨這樣用。
但我龜毛的覺得提完直觀說法(牽扯到連續.所以稍不喜歡)
也還是希望老師以及書能講一下純粹的代數上「它到底怎麼推出來的邏輯脈絡」
我們是透過三四個 basic limit 出發
ex: lim(x->a) 的 x/ x^n/logx/ 根號x/ sinx,cosx,tanx
每一個我們都用ε-δ證過)
再利用 Limit properties:
lim[f(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)=... 把複雜的極限拆成我們看
過的 basic limit 得解. 好像剝洋蔥一樣，最後裡面的洋蔥心我們知道limit為何
可知諸如 lim log(x^3+2x+7)．√{2x+18} =... 之類的極限如何解。
x->-6
http://ppt.cc/8ZNI (合成函數的極限就不拍了)
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這不只是嚴謹而已，因為你或許知道lim(x->9) x^2 = 81,
because you know that y=x^2 is 連續函數(從小到大)
但你可能很難想像為什麼 lim(x->0) [(x+|x|)/2]+3^x,
lim(x->0) 1/x (1/3+x-1/3)
lim(x->2){log|2x^2-x-6|-log|3x^2-2x-8|}
極限會存在。
用"圖形連續不斷，故帶進去函數值=極限值"的想法來看，在這裡根本無用武之地。
因此回歸代數的邏輯脈絡，我覺得老師是應該強調的。 http://ppt.cc/0vtI
※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.21.144 (04/24 22:57)
※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.21.144 (04/24 22:58)
推 herstein :用0/0只能說明他是這種類型的極限但不能用來解釋 04/24 22:57
→ herstein :如何取到極限值。計算極限值還是必須回歸極限的定義 04/24 22:58
→ herstein :所以有些學生的確會覺得很困惑... 04/24 22:59
嗯嗯 所以我的意思是說 LIM[分數]裡的X-2可消 「 因為...所以...」
這說法曖昧不明，只對一個分數裡的小元素看極限x-2 ->0, but not 0,
so can directly divide out
沒理論支撐也罷了，連直觀上都站不住腳(ex 我剛說的弔詭例)。
我是支持用yuyumagic大挖洞理論解釋 lim (x-2)(x-1)/(x-2) 的~~~
※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.21.144 (04/24 23:13)
推 t0444564 :挖洞理論不是現在中學都會這樣教的了嗎? 04/24 23:38
→ Vulpix :你的弔詭例子一點也不弔詭啊＠＠ 04/24 23:55
→ Vulpix :明明就不是0/0然後消去0 這樣，而是消去x-2啊... 04/24 23:55
→ Vulpix :沒理論支撐...也不盡然，非標準分析就可用來支撐一下 04/25 00:00
→ Vulpix :而且要消去的時候通常都說"(x-2) close to 0" 04/25 00:02
→ Vulpix :如果要說"(x-2) tends to 0"的話就一定是先取了極限 04/25 00:02
→ Vulpix :那要如何"再"取一次極限呢？ 04/25 00:03
→ xcycl :嗯... 其實純代數的方法就可以解了 04/25 00:23
→ doom8199 :上下約分跟連續函數定義根本是兩碼子事 04/25 00:26
→ doom8199 :為啥原po要把這兩個搞混再一起 XD 04/25 00:27
→ doom8199 :而且 像 (x-2)/(x-2) 這類只是一種表達式 04/25 00:33
→ doom8199 :函數背後的意義是代表一種特定的 relation 04/25 00:33
→ doom8199 :約分這動作 只是換成另一種表達式 04/25 00:34
→ doom8199 :跟啥 0/0 一點關係也沒有. 而且後面推論也很詭異.. 04/25 00:35
推 yuyumagic424:連續是在講為什麼求極限時可以直接代 04/25 12:39
→ yuyumagic424:不是在講約分 04/25 12:39
→ mather :我是想表達，不要什麼都把epsilon-delta扯進來，嚴謹 04/25 13:09
→ mather :的證明不等於使用epsilon-delta。只要懂極限的概念， 04/25 13:10
→ mather :也可以做的很嚴謹，也不會產生你舉的困惑點。 04/25 13:12