推 yuyumagic424:回你第一段: x^2在x=1處的導數 04/25 13:53
→ chy1010 :有道理.... 燈下黑, 多項式真黑 04/25 14:39
其實問這個題目真的很怪,
如果可以約分的話, 為什麼不一開始就約掉還要找自己麻煩?
問題在微積分出這種題目只是想讓同學練習極限,
而實際上這種極限也不會真的出現.
真正會出現有意思的 0/0, 都是這種不能直接約分的:
sin(x)/x, log(x)/(x-1)
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比較像是前述那個題目的極限可能長成這樣:
lim sin(x)e^{2x+1}/x 好吧隨便亂寫一個題目,
x->0
這樣沒辦法約分了吧, 這個題目通常會這樣解:
sin(x)/x -> 1 as x -> 0
e^{2x+1} -> e^1 as x -> 0
剛好兩個極限都存在, 所以相成極限為 e^1
也就是原 po 提到的定理作法.
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另外我同意前面兩位大大的說法,
(x-2)(x-1)/(x-1) 這樣的表示式無非是找自己麻煩,
在 x 不為 1 的時候, 這根本就是 x-2.
而問 x->1 的行為, 其實也跟 x=1 本身無關,
就是要看 x=1 附近的行為, 只是剛好 x-2 在 x=1 是連續的,
所以可以直接代值進去.
這就有點像是 removable singularity,
把 0 divisor 除去之後, 就有 regularity 了.
我想大概是因為所有課本出的習題都受限於其他更進一步的知識,
所以大量的 (x-2)(x-1)/(x-1) 這樣的題目,
才會造成這種解法變成制式的解法.
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擁懷天地的人，有簡單的寂寞。
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