[中學] 不等式競賽題

[kueilinyeh (葉Sir~)]

在找不等式的題目時，遇到了幾題問題，懇請版上強者教我


1. 設ΔABC三邊長分別為a,b,c，且令s=(a+b+c)/2。已知ΔABC面積為1，

   試求(s-a)^3+(s-b)^3+(s-c)^3 之最小值

   Ans: 3^(1/4)




2.設x,y,z,w都是正實數，試證：

  (1+x)(1+y)(1+z)(1+w)>=(1+(xyz)^1/3)(1+(yzw)^1/3)(1+(zwx)^1/3)(1+(wxy)^1/3)




3. 若對於正實數x，下述不等式恆成立：

  (x+1/x)^6-(x^6+(1/x)^6)-2>=a[(x+1/x)^3)+(x^3+(1/x)^3)]，求常數a的最大值

  ANS:6

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◆ From: 163.25.118.150
推 Starvilo    :1.R(1+1+1)^2>=[(s-a)+(s-b)+(s-c)=s]^3
→ Starvilo    :[(s-a)+(s-b)+(s-c)]/3>=[(s-a)(s-b)(s-c)]^1/3
→ Starvilo    :2f,可算出s>=3^(3/4),代回1f,可得證R>=3^(1/4)
→ kueilinyeh  :大感謝
推 Starvilo    :3.t=x+1/x>=2, 代入整理 t(3t-a)(2t^2-3)>=0
→ Starvilo    :3t-a>=0 ,3t>=a ,但t>=2仍然無法說明a最大??
推 Starvilo    :３t>=６，so a=６