推 Chatterly :太強了^^,佩服 04/27 16:31
※ 引述《Chatterly (chatterly)》之銘言：
: 大家應該知道球面測地線方程
: 2
: d θ dφ dφ
: _____ - sinθcosθ _____ _____ = 0
: 2
: ds ds ds
這叫1式
: 2
: d φ dφ dθ
: _____ + 2 cotθ ____ ____ = 0
: 2
: ds ds ds
這叫2式
: 如果我沒記錯應該是這樣吧@@
: 有沒有高手可以直接解這聯立ODE然後證明是大圓的
: 我知道一個聰明的方法就是變數變換令 f(θ) = cotθ
: 然後可以巧妙地變成大圓,我懶的打了
開始之前我們先定義大圓：單位球面與二維"向量子空間"的交集
並且為了方便，我們的球面只考慮三維歐氏空間中的單位球面
法1):解ODE
2式乘以積分因子(sinθ)^2後積分(或者將θ,φ分離後積分)
可得 (sinθ)^2*φ' = 常數A
整理得 φ' = A/(sinθ)^2 代入1式
可得 θ" - A^2*cosθ/(sinθ)^3 = 0
上式乘以2θ'後積分，得 (θ')^2 + A^2/(sinθ)^2 = 常數B^2
如果B=0的話，則θ'=sinθ*φ'=0，總之都是些無聊解，所以以下只考慮B!=0
B雖由初始條件決定，但仍可以是正的或負的，總之選一個適當的符號讓下式成立
-sinθθ'/sqrt[(sinθ)^2-A^2/B^2] = B
用cosθ代換就可以積分得 arcsin[cosθ/sqrt(1-A^2/B^2)] = Bs+C
為了方便，以下改稱 A/B=cosα,sqrt(1-A^2/B^2)=sinα
所以剛剛得到的式子是 arcsin[cosθ/sinα] = Bs+C 代入 (sinθ)^2*φ' = A
得 φ' = A/{1-[sinαsin(Bs+C)]^2}
積分得 φ = arctan[cosαtan(Bs+C)] + β
現在我們有
sinαsin(Bs+C) = cosθ = z
sinθsin(φ-β) = cosαsin(Bs+C) (這式子驗證比較繁瑣，自己算吧)
-xcosβ + ysinβ =
這兩式消去sin(Bs+C)後，得 xsinαsinβ - ysinαcosβ + zcosα = 0
這就是三維向量空間的二維向量子空間，亦即咱們的geodesic必須躺在大圓裡面
法2):幾何
須要先知道 geodesic eq. 的解會存在並且唯一
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geodesic eq. 的初始條件就是起始點與起始速度
這兩個條件同時也在歐氏空間中給出一條球面的切線
考慮一個平面，這平面過原點與剛剛那條切線
對著這個平面的鏡射，則給出球面的一個 isometry
如果現在有偏離這個平面的 geodesic
那麼我們就可以利用鏡射做出另一條具有相同起始點與起始速度的 geodesic
但是這個新的 geodesic 卻歪向與剛剛那條 geodesic 不同的方向
至此我們有兩條雖然初始條件相同但卻明顯不同的 geodesic
這違反了唯一性，所以 geodesic 只能乖乖躺在這個平面上了
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※ 編輯: Vulpix 來自: 1.162.77.214 (04/27 14:57)