[機統] Jensen不等式的證明方法有一處看不懂

[s110269 (知識探險家)]

這是我朋友寫給我的證明

以convex(凸向原點)的函數為例：

Q(x)=Q(μ)+Q'(μ)(x-μ)+[Q''(Z)(x-μ)^2]/2 ---------把Q(x)做二階泰勒展開
其中  x<Z<μ ，且[Q''(Z)(x-μ)^2]/2 大於0

所以Q(x)>Q(u)+Q'(μ)(x-u)
兩邊取期望值E[Q(x)]>E[Q(μ)+Q'(μ)(x-μ)]
           →E[Q(x)]>E[Q(μ)]+Q'(μ)×E[(x-μ)]
           →E[Q(x)]>E[Q(μ)]+Q'(μ)×[E(x)-μ]
因為μ為任意常數，令μ=E(x)則E[Q(x)]>E[Q(μ)] 得證

其中困惑的地方就在於Z，整個證明好像都用不到Z，不曉得是不是他筆誤?
應該把Q(x)展開成Q(μ)+Q'(μ)(x-μ)+[Q''(μ)(x-μ)^2]/2才對
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  19824   2 4/01 -            □ (本文已被吃掉)           吃光光，口卡口卡 
  19825   6 4/01 -            □ (本文已被吃掉)                    ◤
  19826     4/01 -            □ (本文已被吃掉)           ⊙    ⊙
  19827     4/01 -            □ (本文已被吃掉)           ▼▼▼▼
  19828     4/01 -            □ (本文已被吃掉)           ▲▲▲▲
  19829   4 4/01 -            □ (本文已被吃掉)            ︶█ )  ))..

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◆ From: 218.211.255.236
→ Vulpix      :Z是用了均值定理，如果寫μ的話Q豈不變成二次函數了
→ THEJOY      :n階泰勒展開的末項是誤差項，理由同上
→ Vulpix      :話說應該是Q(x)>Q(μ)+Q'(μ)(x-μ)吧
謝謝Vulpix，剛剛對稿原來我打錯了，也感謝二樓

想再請教一下，定義Z的範圍在x<Z<μ 或 x>Z>μ都可以嗎?
※ 編輯: s110269         來自: 218.211.255.236      (04/29 13:42)
→ Vulpix      :嗯，就是x,μ之間