Re: [代數] 正整數的平方和

[secjmy (大雄)]

※ 引述《fh48105 (網路真慢)》之銘言：
: 假設有兩個正整數 (a, b), a<b
: 請問是否有可能找到另一組正整數 (a', b'), a' < b' 且 a' =\= a, b' =\= b,
: 使得  a'^2 + b'^2 = a^2 + b^2.
: 如果有的話, 什麼條件下會成立呢?
: 如果推廣到 n 次方呢?
: 有沒有什麼理論在討論這個?
: 謝謝.
以下是我的想法

舉例來說，1^2+8^2=4^2+7^2=65

你可以把65質因數分解：65=5*13，並且注意到5和13都是形如4n+1的質數

這種質數都可以拆成兩個整數的平方和(參見高斯整數)

5=1^2+2^2，你也可以寫成5=(1+2i)(1-2i)
13=2^2+3^2，你也可以寫成13=(2+3i)(2-3i)

然後(1+2i)(2-3i)=8+i
    (1-2i)(2+3i)=8-i

其實你也可以把13拆成13=(3+2i)(3-2i)

然後(1+2i)(3-2i)=7+4i
    (1-2i)(3+2i)=7-4i

總之，因為65=5*13=(1+2i)(1-2i)(2+3i)(2-3i)=(1+2i)(2-3i)(1-2i)(2+3i)=8^2+1^2

又可以寫成       =(1+2i)(1-2i)(3+2i)(3-2i)=(1+2i)(3-2i)(1-2i)(3+2i)=7^2+4^2

湊的方法不一樣，就造成不同的平方和

這只是拋磚引玉，還請其他高手指點XD

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◆ From: 140.114.221.72
推 fh48105     :果然是高手. 那三方以上呢? 不同數的組合會是唯一嗎?
推 whalelover  :taxicab number?
推 coolbetter33:這篇讓我想到Rosen數論的最後一章
推 fh48105     :請問如果是 n 次方呢?
推 cacud       :先想立方吧
推 fh48105     :w兄有說了. taxicab number
推 jacky7987   :有種ramified or unramified的感覺XDDDD
推 t0444564    :高手出招不同凡響．．．
沒有啦，只是最近代數剛好教到UFD，加上最近看了數學女孩(費馬最後定理)
所以看到這題馬上就有想法了XD
至於n=3以上的情況我還沒有想過
※ 編輯: secjmy          來自: 140.114.221.72       (04/30 22:41)