※ 引述《femlro (主戰場:股版)》之銘言：
: (代po)
: 擺線方程只有是圓在直線上移動的軌跡
: 請問有沒有軟體可以帶入方程後
: 模擬出他的軌跡並以此作圖
: 有把這問題放到mathmatica軟體版但沒有人回應
: 類似wiki這種圖
: 但軌跡要可以留下的
: 有點看不懂內外擺的推倒
: 是否有神人願意推導外擺線
: http://tinyurl.com/czegune
: 以及願意分享使用數學軟體繪圖的方式
: 感恩
: 謝謝
: 若願意私下教我更深入的擺線
: 願以高級餐廳禮券或百貨公司或現金也可
來挑戰禮券看看XD
好啦 只是幫忙把維基說的內容講清楚些
借用維基圖
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Epicycloid_geometry.svg
簡單說明他的推導
首先大圓半徑R，小圓半徑r
兩圓的初始狀況是大圓圓心在原點，小圓圓心(R+r,0)
兩圓外切於p點(R,0)
然後小圓開始逆時針滾動到如圖的狀況
設大圓弧圓心角θ，小圓弧圓心角α
且初始狀況外切的p點也跑到如圖的位置
p點的軌跡就是所謂的外擺線
先找此時小圓圓心座標
連心線R+r
則小圓圓心x座標=(R+r)cosθ
y座標=(R+r)sinθ
再來找p點座標
如圖
p點的x座標是從小圓圓心的x座標向左rcos(θ+α)
p點的y座標是從小圓圓心的y座標向下rsin(θ+α)
x=(R+r)cosθ-rcos(θ+α)--(1)
y=(R+r)sinθ-rsin(θ+α)--(2)
最後來找θ和α的關係
小圓滾動過程中如果沒有打滑的話
大圓被滾過的弧長和小圓滾的弧長會相同
利用大圓弧長(圖中綠色弧)=小圓弧長(圖中紫色弧)
Rθ=rα
α=Rθ/r代回(1)(2)
x=(R+r)cosθ-rcos[(R+r)θ/r]--(3)
y=(R+r)sinθ-rsin[(R+r)θ/r]--(4)
這就是p點的參數式，也就是外擺線的軌跡方程式
若令大小圓半徑比R/r=k
R=kr代入(3)(4)
x=r(k+1)cosθ-rcos[(k+1)θ]--(5)
y=r(k+1)sinθ-rsin[(k+1)θ]--(6)
然後討論k的狀況
對照此圖https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Mc_Epicycloid.png
1.k為整數的話，小圓滾大圓一圈後會回到初始位置
其中k=1時就是傳說中的心臟線
2.k為有理數的話，看分母是多少
eg:k=3/2，則小圓滾2圈後會回到初始位置(2圈一循環)
k=135/17，則小圓滾17圈後會回到初始位置(17圈一循環)
3.k為無理數的話，因為沒有週期，p點位置永遠不會回到初始位置
小圓摸的到的地方，總有一天都會被p點經過
所以圖形會是很密的一個環狀區域
大圓外側整個小圓滾的到的點通通都會被p點經過
也就是半徑R到半徑R+2r之間的範圍
(半徑kr到半徑(k+2)r)
跑模擬畫圖的話，要注意k是無理數的狀況
畫越久圖形越密
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